О числе изоэдральных полимино

Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. Разбиение плоскости на полимино называется изоэдральным, если группа симметрий действует на нем транзитивно, то есть если для любых двух полимино разбиения существует глобальная симметрия разбиения, переводящая одно полимино во второе.
В работе рассматривается задача о подсчете числа полимино площади $n$, порождающих изоэдральные разбиения плоскости. Показано, что число таких полимино не превосходит $C(\varepsilon)n^4(\omega+\varepsilon)^n$, где $\omega$ - константа связности квадратной решетки $\mathbb{Z}^2$. Известно, что $\omega<2.7$. Подобные оценки получены также в случае, когда фиксирован периметр, а не площадь полимино. Кроме того, аналогичная оценка справедлива и для числа самих изоэдральных разбиений плоскости при дополнительном условии регулярности разбиений.
Ранее аналогичные результаты были получены в случае решетчатых разбиений плоскости на полимино, для так называемых $p2$-разбиений, а также для решетчатых разбиений на центрально-симметричные полимино.
Доказательство основано на критерии существования изоэдрального разбиения плоскости на полимино, полученного Лангерманом и Винслоу, а также на подсчете числа самонепересекающихся случайных блужданий на решетке $\mathbb{Z}^2$, как стандартных, так и обладающих заданной группой симметрии.
В заключении кратко обсуждаются возможные направления дальнейших исследований и некоторые открытые проблемы.