Обобщенное преобразование Данкля на прямой в обратных задачах теории приближений

Изучается обобщенный гармонический анализ Данкля на прямой, зависящий от параметра $r\in\mathbb{N}$. Случай $r=0$ ответствует обычному гармоническому анализу Данкля. Все конструкции зависят от параметра $r\ge 1$. С помощью оператора обобщенного сдвига определяются разности и модули гладкости. С помощью дифференциально-разностного оператора определяется пространство Соболева. Исследуется приближение функций из пространства $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ целыми функциями экспоненциального типа не выше $\sigma$ из класса $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$, обладающих свойством $f^{(2s+1)}(0)=0$, $s=0,1,\dots,r-1$. Для целымх функций из класса $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$ доказываются неравенства, которые используются в обратных задачах теории приближений. В зависимости от поведения величин наилучшего приближения функции дается оценка модуля гладкости функции, а так же модуля гладкости от степени ее дифференциально-разностного оператора второго порядка. Дается условие асимптотического равенства между наилучшим приближением функции и ее модулем гладкости.