Геометризация теоремы Гекке

Для функции отклонения $\delta_{n}(i)$ распределения дробных долей $\{j \alpha \} < \{ n \alpha \}$, где $j <i$, $n \neq 0$ — целое и $\alpha$ — иррациональное число, доказана факторизация
$$ \delta_{n}(i)= \mathcal{D}_n \circ Fr(i) $$
в виде композиции функций $Fr(i)=\{ i \alpha \}$ — дробная часть $ i \alpha $ и $\mathcal{D}_n(x)$ — кусочно-линейная функция, имеющая $|n|$ разрывов.
Из факторизации выводится ряд следствий и, в частности, при $n>0$ доказаны формулы, выражающие среднее значение $\widehat{\delta}_n$ через сумму $n$ слагаемых дробных долей и через разложения Цеккендорфа числа $n$.