Эта публикация цитируется в
3 статьях
О свободных подгруппах в группах Артина с древесной структурой
В. Н. Безверхний,
И. В. Добрынина Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Аннотация:
Пусть
$G$ — конечно порожденная группа Артина с копредставлением $G = <a_1, ..., a_n; \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i ,j = \overline{1, n}, i\neq j>$,
где
$ \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}$ — слово длины
$m_{ij}$ , состоящее из
$m_{ij}$ чередующихся букв
$a_i$ и
$a_j,i\neq j$,
$m_{ij}$ — число, соответствующее
симметрической матрице Кокстера, где
$m_{ij}\geq 2,i\neq j$. Если группе
$G$ соответствует конечный связный дерево-граф
$\Gamma$ такой, что
вершинам некоторого ребра
$e$ графа
$\Gamma$ соответствуют образующие
$a_i$ и
$a_j$, то ребру
$e$ соответствует соотношение вида $\langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i\neq j$. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной структурой.
Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой).
Группу
$G$ можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим
подгруппам. При этом от графа
$\Gamma$ группы
$G$ перейдем к графу
$\overline{\Gamma}$ следующим
образом: вершинам графа
$\overline{\Gamma}$ поставим в соответствие группы Артина на двух образующих $G_{ij} = <a_i, a_j; \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i\neq j>$, а ребру
$\overline{e}$, соединяющему вершины, соответствующие
$G_{ij}$ и
$G_{jk}$,
— циклическую подгруппу
$<a_j>$.
В настоящей работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой:
пусть
$H$ — конечно порожденная подгруппа группы Артина
$G$
с древесной структурой, причем для любого
$g \in G$ и любой подгруппы
$G_{ij},i\neq j,$ выполнено равенство
$gHg^{-1}\cap G_{ij} =E$, то
$H$ является свободной.
В доказательстве основной теоремы использованы идеи В. Н. Безверхнего о приведении множества образующих подгруппы к специальному.
Ключевые слова:
группа Артина с древесной структурой, подгруппа, свободное произведение с объединением.
УДК:
519.4
Поступила в редакцию: 27.02.2014