К теореме Поста о смежных классах

В теории полиадических групп велика роль групп $A^*$ и $A_0$, фигурирующих в теореме Поста о смежных классах [2], утверждающей, что для всякой $n$-арной группы $\langle A,[~]\rangle$ существует группа $A^*$, в которой имеется нормальная подгруппа $A_0$ такая, что фактор-группа $A^*/A_0$ — циклическая группа порядка $n-1$. Образующий смежный класс $xA_0$ этой циклической группы является $n$-арной группой с $n$-арной операцией, производной от операции в группе $A^*$, при этом $n$-арные группы $\langle A,[~]\rangle$ и $\langle xA_0,[~]\rangle$ изоморфны. Группу $A^*$ называют универсальной обертывающей группой Поста, а группу $A_0$ — соответствующей группой.
В начале статьи рассматривается обобщение теоремы Поста о смежных классах: для всякой $n$-арной группы $\langle A,[~]\rangle$, $n=k(m-1)+1$, в универсальной обертывающей группе Поста $A^*$ имеется нормальная подгруппа $^m\!A$ такая, что фактор-группа $A^*/^m\!A$ — циклическая группа порядка $m-1$. Причем, $A_0\subseteq ~^m\!A\subseteq A^*$ и $^m\!A / A_0$ – циклическая группа порядка $k$.
В статье изучается перестановочность элементов в $n$-арной группе. В частности, изучается $m$-полуабелевость в $n$-арных группах, которая является обобщением широко изучаемых понятий абелевости и полуабелевости. Напомним, что $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ называется абелевой, если в ней для любой подстановки $\sigma$ множества $\{1,2,\ldots,n\}$ верно тождество
$$[a_1a_2\ldots a_n]= [a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\ldots a_{\sigma(n)}],$$
и $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ называется полуабелевой, если в ней верно тождество
$$[aa_1\ldots a_{n-2}b]= [ba_1\ldots a_{n-2}a].$$
Обобщая эти два определения, Э. Пост назвал $n$-арную группу $\langle A,[~]\rangle$ $m$-полуабелевой, если $m-1$ делит $n-1$ и
$$(aa_1\ldots a_{m-2}b, ba_1\ldots a_{m-2}a)\in \theta_A$$
для любых $a,a_1,\ldots, a_{m-2},b\in A$.
Установлен новый критерий $m$-полуабелевости $n$-арной группы, сформулированный с помощью подгруппы $^m\!A$ универсальной обертывающей группы Поста: $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ является $m$-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа $^m\!A$ абелева.
Для $n=k(m-1)+1$ с помощью фиксированных элементов $c_1,\ldots$ $\ldots,c_{m-2}\in A$ на $n$-арной группе $\langle A,[~]\rangle$ строится $(k+1)$-арная группа $\langle A,[~]_{k+1,c_1\ldots c_{m-2}}\rangle$. На смежном классе $A^{(m-1)}$ из обобщенной теоремы Поста строится $(k+1)$-арная группа $\langle A^{(m-1)},[~]_{k+1}\rangle$. Доказывается изоморфизм построенных $(k+1)$-арных групп. Этот изоморфизм позволяет доказать еще один критерий $m$-полуабелевости $n$-арной группы: $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ $m$-полуабелева тогда и только тогда, когда для некоторых $c_1,\ldots,c_{m-2}\in A$ $(k+1)$-арная группа $\langle A,[~]_{k+1,c_1\ldots c_{m-2}}\rangle$ является абелевой.
Библиография: 16 названий.