Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте

Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово $W$ называется $n$-разбиваемым, если его можно представить в виде $W=W_0W_1\cdots W_n$ где подслова $W_1,\dots,W_n$ идут в порядке лексикографического убывания. Из не $n$-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени $n$. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не являющихся $n$-разбиваемыми, над алфавитом из $l$ букв имеет ограниченную высоту $h$ над $Y$ – множеством слов степени не выше $n-1$. Мы показываем, что $h<\Phi(n,l)$, где
$$\Phi(n,l) = 2^{96} l\cdot n^{12\log_3 n + 36\log_3\log_3 n + 91}.$$

Пусть $l$, $n$ и $d\geqslant n$ – некоторые натуральные числа. Тогда все слова над $l$-буквенном алфавитом длины больше, чем $\Psi(n,d,l)$, либо содержат $x^d$, либо являются $n$-разбиваемыми, где
$$\Psi(n,d,l)=2^{27} l (nd)^{3 \log_3 (nd)+9\log_3\log_3 (nd)+36}.$$

В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в Днестровской тетради:
"Пусть $F_{2,m}$ – свободное $2$-порожденное ассоциативное кольцо с тождеством $x^m=0.$ Верно ли, что класс нильпотентности кольца $F_{2,m}$ растет экспоненциально по $m$?"
В работе показано, что в $l$-порождённой ассоциативной алгебре с тождеством $x^d=0$ класс нильпотентности меньше, чем $\Psi(d,d,l)$. Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ниль-алгебр для произвольной характеристики.
Изначальная оценка высоты у Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году – экспоненциальная оценка.
Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не $n$-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности, Рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины $2, 3, (n - 1)$ в не $n$-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.
Библиография: 79 названий.