Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби

1. Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого пространства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные приближения к корневым подпространствам заданных форм дают точки, образы которых лежат на границе модульного многогранника. Граница модульного многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисления выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубических иррациональностей с положительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие.
2. Универсальное обобщение. Пусть в $n$-мерном вещественном пространстве $\mathbb R^n$ заданы $l$ линейных и $k$ квадратичных форм ($n = l + 2k$). Модули этих форм задают отображение пространства $\mathbb R^n$ в положительный ортант $\mathbf S=\mathbb R^m_+$ $m$-мерного вещественного пространства $\mathbb R^m$, $m = l + k$. При этом целочисленная решётка $\mathbb Z^n$ в $\mathbb R^n$ отображается в некоторое множество $\mathbf Z$ в $\mathbf S$. Замыкание выпуклой оболочки $\mathbf H$ множества $\mathbf Z\backslash 0$ является многогранным множеством. Целочисленные точки из $\mathbb R^n$, отображающиеся на границу $\partial\mathbf H$ многогранника $\mathbf H$, дают наилучшие диофантовы приближения к совокупности корневых подпространств $m$ заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени $n$, доказывается, что многогранник $\mathbf H$ имеет $m-1$ независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По теореме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно $m-1$ фундаментальных единиц. Граница $\partial\mathbf H$ многогранника $\mathbf H$ вычисляется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.
Библиография: 75 названий.