Многоцветные множества ограниченного остатка

Пусть $r(i,X^1)$ — количество точек орбиты длины $i$ относительно вращения $S_{\alpha}: \; \mathbb{T}^1 \longrightarrow \mathbb{T}^1$ окружности единичной длины $ \mathbb{T}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ на угол $\alpha$, попавших в $X^1$, и пусть $ \delta(i,X^1)=r(i,X^1) - i|X^1| $ — отклонение функции распределения $r(i,X^1)$ от ее среднего значения $i|X^1|$, где $|X^1|$ означает длину $X^1$. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если $X^1$ имеет длину $|X^1|=h \alpha + b$, где $h\in \mathbb{N}$, $b\in \mathbb{Z}$, то для отклонения $\delta(i,X^1)$ выполняется неравенство $ |\delta(i,X^1)|\le h $ для всех $i=0,1,2,\ldots$
В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов $X^1$ и для таких множеств получил оценку $\delta(i,X^1) =O(1)$ при $i \rightarrow \infty$.
В общем случае, если $X^d$ принадлежит $d$-мерному тору $ \mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ и для него выполняется условие $\delta(i,X^d) =O(1)$ при $i \rightarrow \infty$, то $X^d $ называется множеством ограниченного остатка.
Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предложен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств $X^d_k$ на торе $\mathbb{T}^d$ рассматриваются полные разбиения торов $\mathbb{T}^d_{c,\lambda}=X^d_0 \sqcup X^d_1\sqcup \ldots \sqcup X^d_{s}$ с некоторыми параметрами $c,\lambda$. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора $\mathbb{T}^d$ в накрывающее пространство $\mathbb{R}^d$ так, чтобы повороту тора $S_{\alpha}$ отвечало перекладывание $S_{v}$ некоторых множеств $X'_0,X'_1, \ldots, X'_{s}$ из $\mathbb{R}^d$. Если число таких множеств $X'_k$ окажется $s+1\le d+1$, то каждый из образов $X^d_k=\pi(X'_k)$ на торе $\mathbb{T}^d$ будет $BR$-множеством, а соответствующее объединение $T^d_{c,\lambda}=X'_0 \sqcup X'_1 \sqcup \ldots \sqcup X'_s$ из $\mathbb{R}^d$ — торической разверткой для $\mathbb{T}^d$. Такие развертки $T^d$ были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, трансляционно разбивающих пространство $\mathbb{R}^d$. Указанные параллелоэдры получаются сложением по Минковскому $d$-мерного единичного куба $C^{d}$ и отрезков.
В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены простейшие многомерные множества ограниченного остатка $X^d= P^d$, являющиеся $d$-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин $\sharp V(P^d)=2^{d+1}-2.$ Для размерностей $d=1$ и $2$ это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для $d=3,4$ — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, например, ромбический додекаэдр Федорова.
В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов строятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам доказывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.
Библиография: 9 названий.