Распределение алгебраических точек в областях малой меры и вблизи поверхностей

Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей.
Пусть $I=[a,b]\in\mathbb{R}$ – некоторый интервал, $y=f(x)$ – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при $c_2>c_1>0$ удовлетворяет неравенству
$$ c_1<|f''(x)|<c_2 $$
для всех $x\in I$. Для произвольного $\gamma$, $0\leq\gamma< 1$ и достаточно большого $Q$ обозначим через $A_I(Q,\gamma)$ множество рациональных точек $\Gamma=\left(\frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q}\right)$, $aq\leq p_1\leq bq$, $1\leq q\leq Q$, для которых выполняется неравенство
$$ \left|f\left(\frac{p_1}{q}\right)-\frac{p_2}{q}\right|<Q^{-1-\gamma}. $$
Множество $A_I(Q,\gamma)$ состоит из точек внутри полосы ширины $2Q^{-\gamma}$ вдоль кривой $y=f(x)$, $x\in I$. Естественно ожидать, что величина $\#A_I(Q,\gamma)$ имеет порядок $Q^{3-\gamma}$, что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений.
Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек вида $\bar{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)\in\mathbb{R}^2$, где $\alpha_1, \alpha_2$ — сопряженные действительные алгебраические числа произвольной степени $\deg\alpha_1=\deg\alpha_2=n$ и высоты $H(\alpha_1)=H(\alpha_2)\leq Q$, в полосе шириной $c(n)Q^{-\gamma}$, $0\leq\gamma\leq\frac12$, $Q>Q_0(n)$ около любой гладкой кривой $y=f(x)$. В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях $G$ малой меры $\mu G<c_2(n)Q^{-\gamma_1}$, $0\leq\gamma_1\leq\frac13$.
Библиография: 16 названий.