Об одной задаче А. В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах

В этой работе дается некоторое развитие ранее проведенных исследований по задаче А. В. Малышева о числе целых точек, лежащих в некоторых областях на многомерных гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения асимптотических формул для количества целых точек в областях типа Де Лури на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной гиперболической поверхности
\begin{equation*} p\left(x_1, \ldots, x_4\right) = \sum\limits_{k=1}^{4} a_k x_k^2 -m =0, \quad m \ne 0 \end{equation*}
в области $\Omega_p (L)$ на ней определяемой неравенством
\begin{equation*} \sum\limits_{k=1}^{4} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L \end{equation*}
получил асимптотическую формулу (при $L\to\infty$ фиксированных $a_1, a_2,$ $a_3, a_4$, и $m$) для величины $R \left( \Omega_p (L) \right)$, равной количеству целых точек в области $\Omega_p (L)$ на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы Де Лури не оценивает.
В дальнейшем в [1] дается обобщение этого результата на многомерный гиперболоид, задаваемый уравнением
\begin{equation*} p = p\left(x_1, \ldots, x_s\right) = \sum\limits_{k=1}^{s} a_k x_k^2 + \sum\limits_{k=1}^{s} b_k x_k + c = 0, \end{equation*}
где $a_k$, $b_k$, $(k = 1, \ldots, s)$, $c\ne 0$ — целые числа, причем коэффициенты $a_k$ не все одного знака, а область $\Omega_p (L)$ на этом гиперболоиде задается неравенством
\begin{equation*} \sum\limits_{k=1}^{s} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L. \end{equation*}

В развитие указанной задачи А. В. Малышева мы в уравнении гиперболоида рассматриваем квадратичную форму, эквивалентную диагональной, а область
\begin{equation*} \Omega_p (L) : \sum\limits_{k=1}^{s} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L \end{equation*}
заменяется на область
\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)} \left(x_i, y_i\right) + Q_i^{(2)} \left(z_i, t_i\right) \right\} \leqslant L, \end{equation*}
где $Q_i^{(1)}$ и $Q_i^{(2)}$ — бинарные квадратичные формы, эквивалентные диагональным формам.
Обозначим через $R \left( \Omega_p \left( L \right),s \right)$ количество целых точек, лежащих в области $\Omega_p \left( L \right)$ на $4s$-мерном гиперболоиде
\begin{equation*} \sum\limits_{i = 1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right) - Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right) \right\} = h, \end{equation*}
где $Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right)$, $Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right)$ — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта $d$; $h \ne 0$, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным.
При выводе нашего асимптотического результата о величине $R \left( \Omega_p, L \right)$ используется теорема о взвешенном числе целых точек $I_h (n, s)$ из [2] при $n\to\infty$ и комплексный вариант тауберовой теоремы с остаточным членом для степенных рядов (см. [5, 6]).
Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показателе $k=2$, но при таком значении $k$ наше уравнение гиперболической поверхности имеет несколько более общий вид.
Библиография: 16 названий.