One construction of integral representations of $p$-groups and some applications

Некоторые хорошо известные классические результаты, относящиеся к описанию целочисленных представлений конечных групп над дедекиндовыми кольцами $R$, в частности, для колец целых чисел $\mathbf{Z}$ и $p$-адических чисел $\mathbf{Z}_p$ и максимальных порядков локальных полей и полей алгебраических чисел берут начало в классических работах С. С. Рышкова, П. М. Гудивка, А. В. Ройтера, А. В. Яковлева, В. Плескена. Для их явного описания важно найти матричные реализаций представлений, и один из возможных подходов состоит в описании максимальных конечных подгрупп $GL_n(R)$ над дедекиндовым кольцом $R$ при фиксированном натуральном $n$.
Основная идея, лежащая в основе геометрического подхода, была приведена в работах С. С. Рышкова по вычислению конечных подгрупп из $ GL_n (\mathbf{Z}) $ и дальнейших работах М. Поста и В. Плескена. Тем не менее, было неясно, что происходит при расширении дедекиндова кольца $R$ в общем случае, и в случаях представлений произвольных $p$-групп, сверхразрешимых групп или групп заданного класса нильпотентности.
В настоящей работе изучаются представления вышеуказанных классов групп, в частности, доказано, что при фиксированном $n$ и любой заданной неабелевой $p$-группы $G$ существует бесконечное число попарно неизоморфных абсолютно неприводимых представлений группы $G$. Комбинаторная конструкция серии этих представлений получена в явном виде.
В настоящей работе построена бесконечная цепочка целочисленных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечных $p$-групп с дополнительными условиями сравнимости по модулю дивизоров простого числа $p$.
Мы рассматриваем некоторые связанные нашей конструкцией вопросы, включая задачи погружения в теории Галуа для локальных точных примитивных представлений сверхразрешимых групп и целочисленные представления, возникающие из эллиптических кривых.
Библиография: 27 наименований.