Quadratic forms, algebraic groups and number theory

Целью статьи является обзор некоторых важных результатов в теории квадратичных форм и алгебраических групп, которые оказали и оказывают влияние на развитие теории чисел. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Представлены математические структуры, методы и результаты, в том числе и новые, связанные в той или иной степени с исследованиями В. П. Платонова.
Содержание статьи следующее. Во введении обращено внимание на классические исследования Коркина, Золотарева и Вороного по теории экстремальных форм и напоминаются соответствующие определения. В разделе "Квадратичные формы и решетки" представлены необходимые определения, результаты о решетках и квадратичных формах над полем вещественных чисел и над кольцом целых рациональных чисел. Раздел 3 "Алгебраические группы" содержит представление классов решеток в вещественных пространствах как факторов алгебраических групп, а также вариант критерия Малера компактности таких факторов. Приведен результат о компактности факторов ортогональных групп квадратичных форм, не представляющих рационально нуля, а также определения и понятия, связанные с кватернионными алгебрами над рациональными числами. Приведенные результаты явно или неявно используются в работах В. П. Платонова, а также в разделах 4 и 5. Раздел 4 "Точки Хигнера и их обобщения" содержит краткий обзор новых исследований в направлении нахождения точек Хигнера и их обобщений. В разделе 5 кратко представлены некоторые новые исследования и результаты по принципу Хассе для алгебраических групп. Для чтения статьи может быть полезным знакомство со статьей автора, опубликованной в 3-м выпуске "Чебышевского сборника" за 2015 год.
Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.
Библиография: 31 названий.