О коатомах и дополнениях в решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией

Одной из важных задач универсальной алгебры является изучение решеток, естественным образом связанных с алгебрами. В работе рассматриваются алгебры $\langle A, p, f \rangle$, сигнатура которых состоит из тернарной мальцевской операции $p$ и унарной операции $f$, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр $\langle A, p, f \rangle$ с мальцевской операцией $p$, определенной В.К. Карташовым. Эта алгебра определятся следующим образом. Пусть $\langle A, f \rangle$ — произвольный унар и $x, y \in A$. Для любого элемента $x$ унара $\langle A, f \rangle$ через $f^n(x)$ обозначается результат $n$-кратного применения операции $f$ к элементу $x$; при этом $f^0(x)=x$. Положим $M_{x, y} = \{ n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \mid f^{n}(x) = f^{n}(y) \},$ и $k(x, y) = \min M_{x, y}$, если $M_{x , y} \ne \emptyset$ и $k(x, y) = \infty$, если $M_{x , y} = \emptyset$. Положим далее
$$ p( x, y, z ) \stackrel{def}{=} \begin{cases} z,& \text{ если } k(x,y) \leqslant k(y,z)\\ x,& \text{ если } k(x,y) > k(y,z). \end{cases} $$

В работе описано строение коатомов в решетках конгруэнций алгебр $\langle A, p, f \rangle$ этого класса. Доказано, что решетка конгруэнций алгебры $\langle A, p, f \rangle$ не имеет коатомов тогда и только тогда, когда унар $\langle A, f \rangle$ связен, содержит одноэлементный подунар и имеет бесконечную глубину. Установлено, что в других случаях решетка конгруэнций алгебры $\langle A, p, f \rangle$ имеет единственный коатом.
Показано, что для любых неединичных конгруэнций $\theta$ и $\varphi$ алгебры $\langle A, p, f \rangle$ выполняется неравенство $\theta \vee \varphi<\bigtriangledown$, где $\bigtriangledown$ — наибольшая конгруэнция алгебры.
Получены необходимые и достаточные условия, при которых решетка конгруэнций алгебр данного класса является решеткой с дополнениями, с единственными дополнениями, с относительными дополнениями, булевыми, обобщенными булевыми либо геометрическими. Установлено, что любая нетривиальная конгруэнция алгебры $\langle A, p, f \rangle$ из рассматриваемого класса не имеет дополнения. Доказано, что решетка конгруэнций любой алгебры $\langle A, p, f \rangle$ данного класса является решеткой с копсевдодополнениями.
Библиография: 24 названий.