О нелинейной сумме Клоостермана

Во многих задачах теории чисел, связанных с распределением обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю $q$, большую роль играют оценки тригонометрических сумм специального вида, которые называются суммами Клоостермана. В свою очередь, оценки таких сумм зачастую опираются на оценку А. Вейля т.н. полной суммы Клоостермана по простому модулю. Последняя позволяет оценивать со степенным понижением суммы Клоостермана, число $N$ слагаемых в которых превышает величину $q^{0.5+\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$ — сколь угодно малое фиксированное число. Оценка А. Вейля была получена средствами алгебраической геометрии. Позже С. А. Степановым было найдено элементарное её доказательство, также достаточно сложное. Цель настоящей заметки — дать элементарный вывод оценки суммы Клоостермана, также позволяющий получить степенное понижение в случае $N\ge q^{0.5+\varepsilon}$. Этот вывод основан на использовании т.н. “аддитивного сдвига” переменной суммирования, который широко используется в различных задачах теории чисел.
Библиография: 15 названий.