Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием

И. М. Виноградов первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида
\begin{align*} &S_k(\alpha ;x,y) = \sum_{x-y<n\le x} \Lambda(n) e(\alpha n^k),\quad \alpha=\frac{a}{q}+\lambda,\quad |\lambda|\le \frac{1}{q\tau},\quad 1\le q\le \tau . \end{align*}
при $k=1$, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при
$$ \exp(c(\ln \ln x)^2)\ll q \ll x^{1/3},\qquad y>x^{2/3+\varepsilon}, $$
основу которой наряду с «решетом Виноградова», при $k=1$ составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида
$$ J_k(\alpha;x,y,M,N)=\sum_{M<m\le 2M}a(m)\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{U<n\le 2N}{x-y<mn\le x}}b(n)e(\alpha (mn)^k), $$
где $a(m)$ и $b(n)$ – произвольные комплекснозначные функции, $M$, $N$ – натуральные, $N\le U<2N$, $x>x_0$, $y$ – вещественные числа.
Затем Хейзелгроув, В. Статулявычус, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо, Чжан Тао получили нетривиальную оценку суммы $S_1(\alpha;x,y)$, $y\ge x^{\theta}$, $q$ — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями $|p_i-N/3|\le H$, $ H=N^{\theta}$, соответственно при
$$ \theta=\frac{63}{64}+\varepsilon, \qquad \frac{279}{308}+\varepsilon, \qquad \frac{2}{3}+\varepsilon ,\qquad \frac{5}{8}+\varepsilon. $$
Сумму $J_2(\alpha;x,y,M,N)$ изучили Дж. Лю и Чжан Тао и получили нетривиальную оценку суммы $S_2(\alpha ;x,y)$ при $y\ge x^{\frac{11}{16}+\varepsilon}$.
Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм $J_3(\alpha;x,y,M,N)$, в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах.
Библиография: 12 названий.