Обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими двоичные разложения специального вида

Пусть $\tau_k(n)$ — число решений уравнения $x_{1}x_{2}\cdots x_{k}=n$ в натуральных числах $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $ x_{k}$. Пусть
$$ D_k(x)=\sum_{n\leqslant x}\tau_k(n). $$
Задача получения асимптотической формулы для $D_k(x)$ при $k=2$ называется проблемой делителей Дирихле, а при $k\geqslant 3$ — обобщенной проблемой делителей Дирихле.
Эта асимптотическая формула имеет вид
$$ D_k (x)=x P_{k-1}(\log x)+O(x^{\alpha_k +\varepsilon}), $$
где $ P_{k-1}(x)$ — многочлен степени $k-1$, $0<\alpha_k<1$, $\varepsilon >0$ — сколь угодно малое число.
Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю.
В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{1}{k}, \quad k\geqslant 2. $$
В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3])
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{1}{k+1}, \quad k\geqslant 2. $$
В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{3}{k+2}, \quad k\geqslant 4. $$
В 1979 году Р. Хис-Браун [5] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{3}{k}, \quad k\geqslant 8. $$
В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид
$$ O(x^{1-\frac{c}{k^{2/3}}}(c_{1}\log x)^{k}), $$
где $c>0$, $c_1>0$ — абсолютные постоянные.
Эта оценка равномерна по $ 2\leqslant k \leqslant \log x$.
Пусть $\mathbb{N}_{0}$ — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества $\mathbb{N}_{0}$ и получил формулу
$$ \sum_{\substack{n\leqslant X\\ n\in \mathbb{N}_{0}}}\tau(n)=\frac{1}{2}\sum_{n\leqslant X}\tau(n)+O(X^{\omega }\ln^{2}X), $$
где $\tau(n)$ — число делителей $n$, $\omega=\frac{1}{2}\big(1+\log_{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\big)=0.9428\ldots$.
В настоящей статье обобщенная проблема делителей Дирихле решается в числах из множества $\mathbb{N}_{0}$.
Библиография: 15 названий.