Эта публикация цитируется в
4 статьях
Геометризация обобщенных систем счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел
Е. П. Давлетяроваab,
А. А. Жуковаab,
А. В. Шутовab a Владимирский государственный университет имени А. Г. и
Н. Г. Столетовых
b Владимирский филиал Российской академии народного
хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации
Аннотация:
Обобщенные числа Фибоначчи
$\left \{ F^{(g)}_i \right \}$, определяемые с помощью
рекуррентного соотношения
$$F^{(g)}_{i+2} = g F^{(g)}_{i+1} + F^{(g)}_i,$$
и начальных условий
$F^{(g)}_0 = 1$,
$F^{(g)}_1 = g$ определяют
способ представления натуральных чисел в виде жадного разложения
$$n = \sum_{i=0}^{k} \varepsilon_i(n) F^{(g)}_i,$$
описываемого при
помощи естественных условий на
$\varepsilon_i(n)$. В частности,
при
$g=1$ получаем хорошо известную систему счисления Фибоначчи.
Разложения, получаемые при
$g>1$ будем называть представлениями
натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.
Настоящая работа посвящена изучению множеств $ \mathbb{F}^{(g)}
\left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l}
\right )$, состоящих из натуральных чисел, имеющих заданное
окончание представления в обобщенной системе счисления
Фибоначчи. Основным результатом работы является теорема
геометризации, описывающая множества $ \mathbb{F}^{(g)}
\left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l}
\right )$ в терминах дробных долей вида
$\left \{ n \tau_g \right
\}$,
$\tau_g=\frac{\sqrt{g^2+4}-g}{2}$. Более строго, для
любого допустимого окончания $\left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l}
\right )$ существуют эффективно вычислимые
$a,b\in\mathbb{Z}$ такие, что
$n\in\mathbb{F}^{(g)}
\left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l}
\right )$ тогда и только тогда, когда дробная доля
$\left \{ (n+1) \tau_g \right
\}$ принадлежит отрезку
$\left [ \{-a \tau_g\}; \{-b
\tau_g \} \right ]$. Ранее аналогичная теорема была доказана
авторами для классической системы счисления Фибоначчи.
В качестве приложения рассматривается ряд аналогов классических
теоретико-числовых задач над множествами $ \mathbb{F}^{(g)} \left
( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l}
\right )$. В частности получены асимптотические формулы для количества чисел
из данных множеств, принадлежащих заданной арифметической
прогрессии, для количества простых чисел из заданного
множества, для количества представлений натурального числа в
виде суммы заданного числа чисел из данных множеств, а также
для чисел решений аналогов задач Лагранжа, Гольдбаха и
Хуа-Локена над данными множествами.
Библиография: 33 названия.
Ключевые слова:
обобщенные системы счисления Фибоначчи, теорема геометризации, распределение по прогрессиям, проблемы гольдбахова типа.
УДК:
511.43
Поступила в редакцию: 05.04.2015
Принята в печать: 10.06.2016