Эта публикация цитируется в
5 статьях
О граничном поведении одного класса рядов Дирихле
В. Н. Кузнецов,
О. А. Матвеева Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Аннотация:
Исследуется задача аналитического поведения рядов Дирихле,которые имеют ограниченную сумматорную
функцию, на оси сходимости
$\sigma = 0$. Ранее эта задача изучалась в работах авторов в случае рядов
Дирихле с коэффициентами, которые определяются конечнозначными числовыми характерами, что в свою
очередь было связано с решением известной гипотезы Н. Г. Чудакова о том, что конечнозначные числовые характеры,
отличные от нуля почти для всех простых
$p$, асимптотика сумматорных функций которых имеет линейный
вид, являются характерами Дирихле. Эта гипотеза была высказана в 1950 году и до сих пор окончательно
не решена. В одной из работ авторов было получено частичное решение этой гипотезы исходя из поведения
соответствующего ряда Дирихле при подходе к мнимой оси. Есть основания полагать, что в этом
направлении будет
получено окончательное решение гипотезы Н. Г. Чудакова.
В нашем случае задача представляет интерес и в связи с получением аналитических условий почти
периодичности ограниченной числовой последовательности, отличных от полученных ранее условий.
Например, условий Сеге, заключающихся в наличии точек регулярности на границе сходимости соответствующего
степенного ряда.
Отметим, что в основе исследований лежит, так называемый, метод редукции к степенным рядам, разработанный
в начале 80х годов профессором В. Н. Кузнецовым, заключающийся в изучении взаимосвязи между аналитическими
свойствами рядов Дирихле и граничным поведением соответсвующих (с теми же коэффициентами,
что и у рядов Дирихле) степенных рядов. В данном случае этот метод позволил показать, что все точки мнимой
оси являются точками непрерывности в широком смысле для таких рядов Дирихле. Более того, этот метод позволил
построить последовательность полиномов Дирихле, сходящихся в любом прямоугольнике, расположенным в
критической полосе, к функции, определенной рядом Дирихле.
Библиография: 15 названий.
Ключевые слова:
ряды Дирихле, сумматорная функция коэффициентов, аппроксимационные полиномы Дирихле, характеры Дирихле.
УДК:
511.3
Поступила в редакцию: 15.02.2015
Принята в печать: 10.06.2016