От диофантовых приближений до диофантовых уравнений

Пусть в вещественном $n$-мерном пространстве $\mathbb R^n=\{X\}$ задано $m$ однородных вещественных форм $f_i(X)$, $i=1,\dotsc,m$, $2\leqslant m\leqslant n$. Выпуклая оболочка множества значений $G(X)=\left(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|\right)\in\mathbb R^m_+$ для целочисленных $X\in\mathbb{Z}^n$ во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для $||X||<\mathrm{const}$ вычисляется с помощью стандартной программы. Точки $X\in\mathbb{Z}^n$, для которых значения $G(X)$ лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для $n=3$ обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.
Пусть $p(\xi)$ — целый неприводимый в $\mathbb Q$ многочлен степени $n$ и $\lambda$ — его корень. Набор основных единиц кольца $\mathbb{Z}[\lambda]$ можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена $p(\xi)$. До сих пор эти единицы вычислялись только для $n=2$ (с помощью обычных цепных дробей) и $n=3$ (с помощью алгоритмов Вороного). Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в $\mathbb R^n$ и автоморфизм их образов в $\mathbb R^m_+$. В логарифмической проекции $\mathbb R^m_+$ на $\mathbb R^{m-1}$ можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.
С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля $\mathbb{Q}(\lambda)$. Приведены примеры.
Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля $\mathbb Q(\lambda)$ и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого $n$.
Библиография: 16 названий.