Аппроксимируемость фундаментальной группы конечного графа групп корневым классом групп
Д. В. Гольцов Ивановский государственный университет
Аннотация:
Пусть
$\mathcal{K}$ — абстрактный класс групп, и пусть
$\mathcal{K}$ содержит хотя бы одну неединичную группу.
Тогда класс
$\mathcal{K}$ называется корневым, если выполнены следующие три условия:
1. Если
$A \in \mathcal{K}$ и
$B \leq A$, то
$B \in \mathcal{K}$.
2. Если
$A \in \mathcal{K}$ и
$B \in \mathcal{K}$, то
$A\times B \in \mathcal{K}$.
3. Если
$1\leq C \leq B \leq A$ — субнормальный ряд группы
$A$ и
$A/B, B/C \in \mathcal{K}$, тогда существует
нормальная подгруппа
$D$ группы
$A$
такая, что
$D \leq C$ и
$A/D \in \mathcal{K}$.
Группа
$G$ называется аппроксимируемой корневым классом
$\mathcal{K}$ (или
$\mathcal{K}$-аппроксимируемой), если
для любого неединичного элемента
$g$ группы
$G$,
существует гомоморфизм
$\varphi $ группы
$G$ на группу из класса
$\mathcal{K}$ такой, что
$g\varphi \not = 1$.
Другими словами, группа
$G$ называется
$\mathcal{K}$-аппроксимируемой, если для любого неединичного элемента
$g$ группы
$G$
существует нормальная подгруппа
$N$ группы
$G$ такая, что
$G/N \in \mathcal{K}$ и
$g \not \in N$.
Наиболее интересными аппроксимационными свойствами являются аппроксимируемость классом всех конечных групп (финитная аппроксимируемость),
аппроксимируемость классом всех конечных
$p$-групп и аппроксимируемость классом разрешимых групп.
Все эти три класса являются корневыми.
Поэтому результаты об аппроксимируемости корневым классом групп имеют достаточно общий характер.
Пусть
$\mathcal{K}$ — корневой класс конечных групп.
И пусть
$G$ — фундаментальная группа конечного графа групп с конечными реберными группами.
Получено необходимое и достаточное условие почти
$\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы
$G$.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова:
корневой класс групп, фундаментальная группа графа групп, почти $\mathcal{K}$-аппроксимируемость.
УДК:
512.543 Поступила в редакцию: 03.06.2016
Принята в печать: 13.09.2016