Эта публикация цитируется в
13 статьях
О гиперболической дзета-функции Гурвица
Н. М. Добровольскийa,
Н. Н. Добровольскийa,
В. Н. Соболеваb,
Д. К. Соболевb,
Л. П. Добровольскаяc,
О. Е. Бочароваc a Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
b Московский педагогический государственный университет
c Институт экономики и управления
Аннотация:
В работе рассматривается новый объект исследования — гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой
$\alpha$-полуплоскости
$\alpha=\sigma+it$,
$\sigma>1$ равенством
$$
\zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}\left(\,\overline{dm+b}\,\right)^{-\alpha},
$$
где
$d\neq0$ и
$b$ — любое вещественное число.
Гиперболическая дзета-функция Гурвица
$\zeta_H(\alpha;d,b)$ при
$\left\|\frac{b}{d}\right\|>0$ совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой
$\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)$. Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида
$\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b$.
Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток — это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.
Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру
$b$ дзета-функцией Гурвица
$\zeta^*(\alpha;b)$ и с обычной дзета-функцией Гурвица
$\zeta(\alpha;b)$.
Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой
$\alpha=1+it$.
Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.
Библиография: 34 названия.
Ключевые слова:
дзета-функция Гурвица, периодизированная дзета-функция Гурвица, дзета-функция Гурвица второго рода, гиперболическая дзета-функция Гурвица, решётка, гиперболическая дзета-функция решётки, дзета-функция решётки, полиномы Бернулли, контур Ханкеля.
УДК:
511.9 Поступила в редакцию: 02.05.2016
Принята в печать: 12.09.2016