RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Чебышевский сборник // Архив

Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 3, страницы 72–105 (Mi cheb499)

Эта публикация цитируется в 13 статьях

О гиперболической дзета-функции Гурвица

Н. М. Добровольскийa, Н. Н. Добровольскийa, В. Н. Соболеваb, Д. К. Соболевb, Л. П. Добровольскаяc, О. Е. Бочароваc

a Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
b Московский педагогический государственный университет
c Институт экономики и управления

Аннотация: В работе рассматривается новый объект исследования — гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой $\alpha$-полуплоскости $\alpha=\sigma+it$, $\sigma>1$ равенством
$$ \zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}\left(\,\overline{dm+b}\,\right)^{-\alpha}, $$
где $d\neq0$ и $b$ — любое вещественное число.
Гиперболическая дзета-функция Гурвица $\zeta_H(\alpha;d,b)$ при $\left\|\frac{b}{d}\right\|>0$ совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой $\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)$. Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида $\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b$.
Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток — это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.
Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру $b$ дзета-функцией Гурвица $\zeta^*(\alpha;b)$ и с обычной дзета-функцией Гурвица $\zeta(\alpha;b)$.
Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой $\alpha=1+it$.
Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.
Библиография: 34 названия.

Ключевые слова: дзета-функция Гурвица, периодизированная дзета-функция Гурвица, дзета-функция Гурвица второго рода, гиперболическая дзета-функция Гурвица, решётка, гиперболическая дзета-функция решётки, дзета-функция решётки, полиномы Бернулли, контур Ханкеля.

УДК: 511.9

Поступила в редакцию: 02.05.2016
Принята в печать: 12.09.2016



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024