Эта публикация цитируется в
6 статьях
Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов
В. Ю. Матвеев
Аннотация:
Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу
$F$-рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами — рациональными функциями от
$z$.
Рассматривается подкласс
$F$-рядов, который состоит из рядов вида
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n \, ,
\nonumber
\end{equation}
у которых
$a_n\in \mathbb{Q}$ и
$\left|a_n\right| \leq e^{c_1 n}$,
$n=0,1,\dots$, где
$c_1$ — некоторая постоянная.
Кроме того, существует последовательность натуральных чисел
$d_n$ таких, что
$d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n$. При этом $d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}$ и для любого
$n$ число
$d_{0,n}$ делится только на простые числа
$p$, для которых выполнено неравенство
$p\leq c_2n$. Предполагаем также,что степень, в которой число
$p$ входит в разложение числа
$d_{0,n}$, обозначаемая
$ord_pn$, удовлетворяет при всех
$n$ неравенству
$$ord_pn\leq c_3\left(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}\right).$$
При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу
$F\left(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d\right)$.
Ряды такого вида сходятся в точке
$z\in\mathbb Z$,
$z\ne 0$, если рассматривать их, как
$p$-адические числа при любом простом
$p$, кроме быть может конечного числа простых
$p$.
Прямое произведение колец целых
$p$-адических чисел по всем простым
$p$ называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы
\begin{equation}
\nonumber
\mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n!
\end{equation}
можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю
$\mathbb Q_p$, представляют собой сумму
$\mathfrak{a}^{(p)}$ ряда
$\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!$ в поле
$\mathbb Q_p$.
Для любого многочлена
$P(x)$ с целыми коэффициентами определим
$P(\mathfrak{a})$ как вектор, координаты которого в поле
$\mathbb Q_p$ равны
$P(\mathfrak{a}^{(p)})$. Следуя классификации введенной в работах В. Г. Чирского, назовем полиадические числа
$\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m$ бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена
$P(x_1,\ldots,x_m)$ с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел
$p$ таких, что $P\left(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}}\right)\ne 0$ в поле
$\mathbb Q_p$.
В статье доказана теорема, утверждающая, что если
$F$-ряды
$f_1,\ldots,f_m$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида
\begin{equation}
\nonumber
P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m
\end{equation}
где
$P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i$– рациональные функции от
$z$ и если
$\xi\in\mathbb Z$,
$\xi\ne 0$,
$\xi$ отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии
\begin{equation}
\nonumber
\exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb
C(z)
\end{equation}
$f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)$– бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.
Используется модификация метода Зигеля–Шидловского и подход В. Х. Салихова к доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
Библиография: 30 названий.
Ключевые слова:
алгебраическая независимость, почти полиадические числа.
УДК:
511.36 Поступила в редакцию: 30.06.2016
Принята в печать: 13.09.2016