Точные решения задач теории многократного наложения больших деформаций для тел, образованных последовательным соединением деформированных частей

В статье приведены и развиты разработанные совместно с профессором МГУ им. М.В. Ломоносова В.Ан. Левиным подходы к точному аналитическому решению задач о больших деформациях составных изделий (тел) из несжимаемых изотропных нелинейно-упругих материалов, части которых предварительно деформированы. Решение этих задач представляет интерес при анализе напряжений в элементах конструкций, изготавливаемых из предварительно нагруженных частей. Результаты могут быть использованы для тестирования промышленного программного обеспечения, предназначенного для численного моделирования аддитивных технологий.
Постановка задач осуществляется на основе теории наложения больших деформаций и в рамках этой теории может быть сформулирована следующим образом. Части изделия, первоначально не связанные между собой, подвергаются начальному деформированию и переходят в промежуточное состояние. Затем эти части соединяются между собой. Соединение происходит по некоторым поверхностям, общим для каждой пары соединяемых частей. Далее тело, составленное из нескольких частей, деформируется как единое целое под действием приложенной к нему дополнительной нагрузки и переходит в конечное состояние. Предполагается, что на поверхностях, по которым соединены части тела, выполняются условия идеального контакта, т.е. векторы перемещений в соединяемых частях изделия на этих поверхностях совпадают.
Точные решения для изотропных несжимаемых материалов найдены с использованием известных универсальных решений и могут быть рассмотрены как обобщение этих решений на случай наложения больших деформаций.
В статье детально рассмотрены следующие задачи:

• задача о напряженно-деформированном состоянии в двух полых круговых упругих цилиндрах (трубах), один из которых был предварительно деформирован и вставлен в другой цилиндр (задача Ламе–Гадолина);
• задача о кручении составного цилиндра;
• задача о больших деформациях изгиба составного бруса, состоящего из нескольких предварительно деформированных частей (слоев).

Приведены математические постановки этих задач, методы и некоторые результаты их решения. Исследовано влияние предварительных деформаций на напряженно-деформированное состояние, анализируются нелинейные эффекты.