Оценки сверху и снизу для количества алгебраических точек в коротких интервалах

Алгебраические числа распределены весьма причудливо. Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств. Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью. В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел. Было выяснено, что для любого целого $Q > 1$ существуют интервалы длины $0,5 Q^{-1}$, внутри которых нет алгебраических чисел $\alpha$ любой степени $n$ и высоты $H(\alpha) \le Q$. В то же время можно найти величину $c_0 = c_0(n)$, что уже при $c > c_0$ лежащие на любом интервале $I$ длины большей $c Q^{-1}$ алгебраические числа обладают свойством регулярности. Такими "удобными"  для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты. Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой. Оказывается, что для "большинства"  точек $x$ интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке $x$). Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел. В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на "очень коротких" интервалах.