О дробных моментах успокоенных $L$-функций Lирихле

Пусть $\chi_1(n)$ — характер Дирихле по модулю 5 такой, что $\chi_1(2)=i$,
$$ \varkappa=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}. $$

Функцией Дэвенпорта–Хейльбронна называется функция
$$ f(s)=\frac{1-i\varkappa}{2}L(s,\chi_1)+\frac{1+i\varkappa}{2}L(s,\overline{\chi}_1). $$

Функция $f(s)$ была введена и исследована Дэвенпортом и Хейльбронном в 1936 году. Она удовлетворяет функциональному уравнению риманого типа
$$ g(s)=g(1-s), $$
где $g(s)=(\frac{\pi}{5})^{-s/2}\Gamma(\frac{1+s}{2})f(s)$.
Известно однако, что не все нетривиальные нули $f(s)$ лежат на прямой $\Re s=\frac{1}{2}$.
В области $\Re s>1$, $0<\Im s\le T$ число нулей $f(s)$ превосходит $cT$, где $c>0$ — абсолютная постоянная (Дэвенпорт и Хейльбронн, 1936 г.).
Кроме того, число нулей $f(s)$ в области $\frac{1}{2}<\sigma_1<\Re s<\sigma_2$, $0<\Im s\le T$ превосходит $c_1T$, где $c_1>0$ — абсолютная постоянная (С. М. Воронин, 1976).
В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что на критической прямой $\Re s=\frac{1}{2}$ лежит «аномально много» нулей $f(s)$. Пусть $N_{0,f}(T)$ — число нулей $f(s)$ на промежутке $\Re s=\frac{1}{2}$, $0<\Im s\le T$. С. М. Воронин получил оценку
$$ N_{0,f}(T)>c_2T\exp\{\frac{1}{20}\sqrt{\log\log\log\log T}\}, $$
где $c_2>0$ — абсолютная постоянная.
В 1990 году А. А. Карацуба коренным образом усилил оценку С. М. Воронина и получил неравенство
$$ N_{0,f}(T)>T(\log T)^{1/2-\varepsilon}, $$
где $\varepsilon>0$ — произвольно малая постоянная, $T>T_0(\varepsilon)>0$.
В 1994 году А. А. Карацуба получил несколько более точную оценку
$$ N_{0,f}(T)>T(\log T)^{1/2}\exp\{-c_3\sqrt{\log\log T}\}, $$
где $c_3>0$ — абсолютная постоянная.
В 2017 году автор получил следующую оценку
$$ N_{0,f}(T)> T (\log T)^{1/2+1/16-\varepsilon}\quad (\varepsilon>0). $$

В настоящей статье получены новые верхние и нижние оценки дробных моментов успокоенных рядов Дирихле, из которых следует, что
$$ N_{0,f}(T)> T (\log T)^{1/2+1/12-\varepsilon}\quad (\varepsilon>0). $$