Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых

В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета функция $\zeta(M(q)|\alpha)$ геометрической прогрессии $M(q)$ с первым членом равным 1 и произвольным натуральным знаменателем $q>1$, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции $\zeta(M(q)|\alpha)=\frac{q^\alpha}{q^\alpha-1}$, имеющей множество полюсов
$$ S(M(q))=\left\{\left. \frac{2\pi i k}{\ln q}\right| k\in\mathbb{Z}\right\} $$
получены представления:
\begin{gather*} \zeta(M(q)|\alpha)=\frac{q^{\frac{\alpha}{2}}}{\alpha\ln q}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\alpha^2\ln^2 q}{4\pi^2 n^2}\right)^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\ln q}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\alpha\ln q}{\alpha^2\ln^2 q+4n^2\pi^2}= \\ =\frac{q^{\frac{\alpha}{2}}\alpha\ln q}{4\pi^2}\Gamma\left(\frac{\alpha i\ln q }{2\pi}\right)\Gamma\left(-\frac{\alpha i\ln q }{2\pi}\right). \end{gather*}

Для дзета-функции $\zeta(M(\vec{p})|\alpha)$ моноида $M(\vec{p})$ с конечным числом простых чисел $\vec{p}=(p_1,\ldots,p_n)$ получено разложение в бесконечное произведение
$$ \zeta(M(\vec{p})|\alpha)=\frac{P(\vec{p})^{\frac{\alpha}{2}}}{\alpha^nQ(\vec{p})}\prod_{\nu=1}^{n}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{\alpha^2\ln^2 p_\nu}{4\pi^2 m^2}\right)^{-1}, $$
где $P(\vec{p})=p_1\ldots p_n$, $Q(\vec{p})=\ln p_1\ldots \ln p_n$, и найдено функциональное уравнение
$$ \zeta(M(\vec{p})|-\alpha)=(-1)^n\frac{\zeta(M(\vec{p})|\alpha)}{P(\vec{p})^\alpha}. $$

Для моноида натуральных чисел $M^*(\vec{p})= \mathbb{N}\cdot M^{-1}(\vec{p})$ с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел $n$ взаимно простых с $P(\vec{p})=p_1\ldots p_n$, и для эйлерово произведение $P(M^*(\vec{p})|\alpha)$, состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от $p_1,\ldots, p_n$, найдено функциональное уравнение
$$ \zeta(M^*(\vec{p})|\alpha)=M(\vec{p},\alpha) \zeta(M^*(\vec{p})|1-\alpha), $$
где
$$ M(\vec{p},\alpha)=M(\alpha)\cdot\frac{M_1(\vec{p},\alpha)}{M_1(\vec{p},1-\alpha)}, \quad M_1(\vec{p},\alpha)=\prod_{\nu=1}^{n}\left(1-\frac{1}{p_\nu^\alpha}\right). $$

Доказано, что для любого бесконечного множества простых $\mathbb{P}_1$ не существует аналитической функции равной
$$\lim\limits_{n\to\infty} \zeta(M(\vec{p}_n)|\alpha)$$
на всей комплексной плоскости.
Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества $PE$ простых чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.