О взвешенном числе точек алгебраической сетки

Работа посвящена изучению тригонометрических сумм алгебраических сеток с весами, которые играют центральную роль в модификации метода К. К. Фролова, предложенной Н. М. Добровольским в 1984 году. Тригонометрическую сумму алгебраической сетки с весами для вектора $\vec{m}=\vec{0}$, естественно, назвать взвешенным числом точек алгебраической сетки.
Во введении данной работы предложено обоснование актуальности темы исследования, даются необходимые определения и факты из современной теории метода К. К. Фролова, доказывается важная теорема о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки. В разделе «Вспомогательные леммы» приводятся без доказательства необходимые факты из теории весовых функций специального вида, которые играют принципиальную роль в модификации Н. М. Добровольского метода К. К. Фролова.
Используя теорему о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки и лемму о значении тригонометрического интеграла от весовой функции, в работе выводится асимптотическая формула для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка $2$, которая утверждает, что такое число стремится к единице.
Аналогично, показано, что при росте детерминанта алгебраической решётки для любого вектора $\vec{m}\neq\vec{0}$, тригонометрическая сумма алгебраических сеток с весами, заданной специальной весовой функцией, стремится к $0$.
Для простоты изложения в основном тексте статьи рассматривается только случай простейшей весовой функции порядка $2$.
В заключении сформулированы без доказательства аналогичные утверждения о значениях тригонометрических сумм алгебраических сеток со специальными весовыми функциями порядка $r+1$ для произвольного натурального $r$.
А именно, утверждается, что для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка $r$ справедливо стремление к $1$ с остаточным членом порядка $s-1$ логарифма детерминанта алгебраической решётки, делённого на $r+1$ степень детерминанта алгебраической решётки. Аналогичное утверждение справедливо о стремлении к нулю тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами, заданной специальной весовой функцией порядка $r+1$.