Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$

Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horváth установили ряд интересных результатов относительно точной константы Никольского $\mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве
$$ \sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le \mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p} \biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p} $$
для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$ экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge -1/2$.
Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$
$$ \mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p), $$
где $\mathcal{L}(\alpha,p)$ — точная константа в неравенстве Никольского
$$ \sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p} $$
для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.
Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p):= (2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p), $$
которые имеют следующий вид:
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in (0,\infty), $$
и для фиксированного $p\in [1,\infty)$
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad \alpha\to \infty. $$
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае $\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.
Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности, для доказательства равенства $\mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четный положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой $1$ и инвариантен на подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.
Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано на оценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижней асимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя $j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.