О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

Для $0<p<\infty$ мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского для тригонометрических полиномов порядка не больше $n$
$$ \mathcal{C}(n,p)=\sup_{T_{n}\ne 0}\frac{\|T_{n}\|_{\infty}}{\|T_{n}\|_{p}} $$
и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа не больше $1$
$$ \mathcal{L}(p)=\sup_{f\ne 0}\frac{\|f\|_{\infty}}{\|f\|_{p}}. $$

Недавно Е. Левин и Д. Любинский доказали, что
$$ \mathcal{C}(n,p)=\mathcal{L}(p)n^{1/p}(1+o(1)),\quad n\to \infty. $$
М. Ганзбург и С. Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского–Бернштейна.
Мы доказываем неравенства
$$ n^{1/p}\mathcal{L}(p)\le \mathcal{C}(n,p)\le (n+\lceil p^{-1}\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p),\quad n\in \mathbb{Z}_{+},\quad 0<p<\infty, $$
которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашему старому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощью этого подхода ранее были доказаны оценки при $p=1$
$$ n\mathcal{L}(1)\le \mathcal{C}(n,1)\le (n+1)\mathcal{L}(1). $$

Данные неравенства позволяют оценить константу $\mathcal{L}(p)$, приближенно вычисляя $\mathcal{C}(n,p)$ для больших $n$. Чтобы это сделать мы используем недавние результаты В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой, которые выразили константу Никольского $\mathcal{C}(n,p)$ при помощи алгебраического полинома $\rho_{n}$, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L^{p}$ на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t)v(t)$, где $v(t)=(1-t^{2})^{-1/2}$ — вес Чебышева. Как следствие, мы уточняем оценки для константы Никольского $\mathcal{L}(1)$ и находим, что
$$ 1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.082. $$
Для сравнения предыдущие оценки были $1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.098$.