Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют следующему свойству:
\begin{equation} \int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1, \tag{*} \end{equation}
где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ это свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют приложения в теории чисел.
В одномерном случае неравенство ($*$) изучалось Б.Ф. Логаном (1988), а также недавно А. Ефимовым, М. Гаалом и Сц. Ревешем (2017). Было доказано, что $2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$. Вопрос о точных константах здесь открыт.
Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В. Горбачевым и С.Ю. Тихоновым (2018). В частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций $f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$
$$ \int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx, $$
где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда на радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство
$$ \int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}. $$

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
$$ \int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\le C_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2, $$
где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ — произвольная четная непрерывная положительно определенная функция относительно веса $x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М. Левитаном (1951) и означает, что для произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица $(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь $T_{\alpha}^{t}$ — оператор обобщенного сдвига Бесселя–Гегенбауэра. Левитан доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно которому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).
Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$
$$ c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quad R\ge 1. $$
Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательства верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида $\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$ — характеристическая функция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.