RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Чебышевский сборник // Архив

Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 123–141 (Mi cheb644)

Эта публикация цитируется в 11 статьях

О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел

Н. Н. Добровольскийa, А. О. Калининаb, М. Н. Добровольскийc, Н. М. Добровольскийd

a Тульский государственный университет
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
c Геофизический центр РАН, г. Москва
d Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Аннотация: В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с $1$ по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с $1$ по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.
Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$ \zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha} $$
моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$ P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}. $$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.
Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.
Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с $1$ по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.
Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.
В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.

УДК: 511.3

DOI: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024