Эта публикация цитируется в
11 статьях
О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел
Н. Н. Добровольскийa,
А. О. Калининаb,
М. Н. Добровольскийc,
Н. М. Добровольскийd a Тульский государственный университет
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
c Геофизический центр РАН, г. Москва
d Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Аннотация:
В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде
$M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с
$1$ по модулю
$q$. При
$q>2$ моноид
$M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с
$1$ по модулю
$q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай
$q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с
$q-1$ по модулю
$q$. Таким образом, для множества простых элементов
$P(M_{q,1})$ моноида
$M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.
Так как моноид
$M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$
\zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha}
$$
моноида
$M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$
P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}.
$$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде
$M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.
Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.
Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с
$1$ по модулю
$q$ и равных произведению двух простых чисел.
Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах
$M_{q,1}$ при
$q=3,4,6$.
В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова:
дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.
УДК:
511.3
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141