Эта публикация цитируется в
1 статье
Mertens sums requiring fewer values of the Möbius function
[Суммы Мертенса, требующие меньших значений функции Мёбиуса]
M. Huxleya,
N. Wattb a Cardiff University,
Wales, United Kingdom
b Dunfermline, Scotland
Аннотация:
Обсудим некоторые тождества с участием
$\mu(n)$ и
$M(x) = \sum _{n \leq x}\mu (n)$, функции Мёбиуса и Мертенса. Они позволяют вычислить
$M(N^d)$ для
$d=1,2,3,\ldots\, $ как сумму
$O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$ членов, каждое произведение вида
$\mu(n_1) \cdots \mu(n_r)$ с
$r\leq d$ и
$n_1, \ldots , n_r\leq N$. Докажем более общее тождество, в котором
$M(N^d)$ заменяется на
$M(g,K)=\sum_{n\leq K}\mu(n)g(n)$, где
$g(n)$ – произвольная полностью мультипликативная функция, тогда как каждое
$n_j$ имеет собственный диапазон суммирования
$1,\ldots , N_j$. Это не ново, за исключением того, что в
$N_1,\ldots , N_d$ произвольны, но наше доказательство (вдохновленное тождественным равенством Э. Майсселя, 1854) является новым. Мы главным образом заинтересованы в случае
$d=2$,
$K=N^2$,
$N_1=N_2=N$, где тождество имеет вид $M(g, N^2) = 2 M(g,N) - \mathbf{m}^{\mathrm{T}} A \mathbf{m}$, при этом
$A$ является матрицей
$N\times N$ элементов
$a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$, в то время как $\mathbf{m}=(\mu (1)g(1),\ldots ,\mu (N)g(N))^{\mathrm{T}}$. Наши результаты в разделах 2 и 3 данной статьи предполагают, что
$g(n)$ равно
$1$ для всех
$n$. Теорема Фробениуса—Перрона применяется в этом случае: мы находим, что
$A$ имеет одно большое положительное собственное значение, приблизительно
$(\pi^2 /6)N^2$, с собственным вектором приблизительно $\mathbf{f} = (1,1/2,1/3,\ldots ,1/N)^{\mathrm{T}}$ T и что при больших значениях
$N$ второе наибольшее собственное значение лежит в
$(-0.58 N, -0.49 N)$. Раздел 2 включает оценки для следов
$A$ и
$A^2$ (хотя для
$\mathrm{Tr}(A^2)$, мы пропустим часть доказательства). В разделе 3 обсуждаются способы аппроксимации
$\mathbf{m}^{\mathrm{T}} A \mathbf{m}$, используя спектральное разложение
$A$ или (альтернативно) формулу Перрона: последний подход приводит к контурному интегралу, включающему дзета-функцию Римана. Мы также рассматриваем использование тождества $A = N^{2\,} \mathbf{f}^{\,} \!\mathbf{f}^T -
\frac{1}{2} \mathbf{u} \mathbf{u}^T + Z$, а
$Z$ — матрица
$N\times N$ элементов
$z_{mn} = - \psi(N^2 / (mn))$, причем
$\psi(x)=x - \lfloor x\rfloor -
\frac{1}{2}$. Наши выводы представлены в разделе 4.
Ключевые слова:
функция Мёбиуса, функция Мертенса, полностью мультипликативная функция, Мaйссель, тождество Линника, тождество Вогана, симметричная матрица, tеорема Фробениуса-Перрона, собственное значение, собственный вектор, формула Перрона, дзета-функция Римана.
УДК:
511.176
Поступила в редакцию: 01.06.2018
Принята в печать: 10.10.2018
Язык публикации: английский
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-19-3-20-34