Эта публикация цитируется в
3 статьях
Гипотеза Римана как чётность специальных биномиальных коэффициентов
Ю. В. Матиясевичab a Санкт-Петербургское математическое общество
b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН
Аннотация:
Гипотеза Римана имеет много эквивалентных
переформулировок. Часть из них является арифметическими,
то есть утверждениями о свойствах целых или натуральных чисел.
Простейшую логическую структуру имеют переформулировки из
класса
$\Pi_1^0$ арифметической иерархии, имеющие вид "для любых
$x_1,\dots,x_m$ имеет место
$A(x_1,\dots,x_m)$",
где
$A$ – алгоритмически проверяемое отношение.
Примером может служить переформулировка гипотезы Римана в
виде утверждения о том,
что некоторое диофантово уравнение не имеет решений
(такое конкретное уравнение может быть явно указано).
Хотя логическая структура такой переформулировки очень проста,
известные способы построения такого диофантова уравнения
приводят к уравнениям, требующим для своей записи нескольких страниц.
С другой стороны, известны весьма краткие по записи
переформулировки, также принадлежащие классу
$\Pi_1^0$.
Примерами могут служить три критерия справедливости гипотезы
Римана, которые предложили Ж.-Л. Николас,
Г. Робин, и Дж. Лагариас. Недостатком этих
переформулировок (по сравнению
с диофантовым уравнением) является использование более “сложных”
констант и функций, чем натуральные числа и сложение и умножение,
достаточные для построения диофантова уравнения.
В работе приводится система из
$9$ условий, налагаемых на
$9$
переменных. Для формулировки этих условий используются только
сложение, умножение, возведение в степень (унарное,
с фиксированным основанием
$2$), функция “остаток от деления”,
неравенства, сравнения по модулю и биномиальный коэффициент.
Вся система может быть явно выписана на одной странице.
Доказано, что построеная система условий несовместна в том и только том случае,
когда гипотеза Римана верна.
Ключевые слова:
гипотеза Римана, биномиальные коэффициенты.
УДК:
511.313:511.331.1:511.526
Поступила в редакцию: 17.07.2018
Принята в печать: 10.10.2018
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-19-3-46-60