RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Чебышевский сборник // Архив

Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 3, страницы 95–108 (Mi cheb682)

Эта публикация цитируется в 11 статьях

О моноиде квадратичных вычетов

Н. Н. Добровольскийab, А. О. Калининаc, М. Н. Добровольскийd, Н. М. Добровольскийb

a Тульский государственный университет
b Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
d Геофизический центр РАН

Аннотация: В работе изучается дзета-функция моноида квадратичных вычетов по простому модулю $p$. Моноид квадратичных вычетов задается равенством
$$ M_{p,2}=\left\{a\in\mathbb{N}\left| \left(\frac{a}{p}\right)=1\right.\right\}=\bigcup_{\nu=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(r_\nu+p\mathbb{N}_0\right), $$
где $\mathbb{N}_0=\{0\}\bigcup\mathbb{N}$ и $r_1<r_2<\ldots<r_{\frac{p-1}{2}}$ — наименьшая положительная система квадратичных вычетов по модулю $p$, соответственно, $r_{\frac{p+1}{2}}<\ldots<r_{p-1}$ — наименьшая положительная система квадратичных невычетов по модулю $p$.
Множество простых элементов моноида $M_{p,2}$ состоит из множества простых чисел $\mathbb{P}_p^{(1)}$ и множества псевдопростых чисел $\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}$:
$$ P(M_{p,2})=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\left(\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}\right), $$
где множество простых чисел $\mathbb{P}$ разбивается на два бесконечных подмножества $\mathbb{P}_p^{(\nu)}$ $(\nu=1,2)$ и одноэлементное множество $\{p\}$:
$$ \mathbb{P}=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\mathbb{P}_p^{(2)}\bigcup\{p\}, \quad \mathbb{P}_p^{(\nu)}=\left\{q\in\mathbb{P}\left|\left(\frac{q}{p}\right)=3-2\nu\right.\right\} \quad (\nu=1,2). $$
Моноид $M_{p,2}$ разлагается в произведение двух взаимно простых моноидов $M_{p,2}=M_{p,2}^{(1)}\cdot$ $\cdot M_{p,2}^{(2)}$, где
$$ M_{p,2}^{(\nu)}=\left\{a\in M_{p,2}\left| a=\prod_{j=1}^{n}q_j^{\alpha_j}, \, q_j\in\mathbb{P}_p^{(\nu)} \right.\right\}, \quad \nu=1,2. $$
В статье изучаются свойства функции распределения простых элементов $\pi_{M_{p,2}^{(\nu)}}(x)$ для $\nu=1,2$. Отметим, что $\pi_{M_{p,2}}(x)=\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)+\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)$. Показано, что
$$ \pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{li} x+O\left(\frac{x^{\beta_1}}{2}+\frac{p-1}2xe^{-c_9\sqrt{\ln x}}\right) $$
и
$$ \pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)=\frac{x\ln\ln x}{2\ln x}+O\left(\frac{x}{(1-\beta_1)\ln{x}}\right), $$
где $\beta_1$ — исключительный ноль исключительного характера $\chi_1$ по модулю $p$.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.

УДК: 511.3

Поступила в редакцию: 30.06.2018
Принята в печать: 15.10.2018

DOI: 10.22405/2226-8383-2018-19-3-95-108



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024