Эта публикация цитируется в
11 статьях
О моноиде квадратичных вычетов
Н. Н. Добровольскийab,
А. О. Калининаc,
М. Н. Добровольскийd,
Н. М. Добровольскийb a Тульский государственный университет
b Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
d Геофизический центр РАН
Аннотация:
В работе изучается дзета-функция моноида квадратичных вычетов по простому модулю
$p$. Моноид квадратичных вычетов задается равенством
$$
M_{p,2}=\left\{a\in\mathbb{N}\left| \left(\frac{a}{p}\right)=1\right.\right\}=\bigcup_{\nu=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(r_\nu+p\mathbb{N}_0\right),
$$
где
$\mathbb{N}_0=\{0\}\bigcup\mathbb{N}$ и
$r_1<r_2<\ldots<r_{\frac{p-1}{2}}$ — наименьшая положительная система квадратичных вычетов по модулю
$p$, соответственно,
$r_{\frac{p+1}{2}}<\ldots<r_{p-1}$ — наименьшая положительная система квадратичных невычетов по модулю
$p$.
Множество простых элементов моноида
$M_{p,2}$ состоит из множества простых чисел
$\mathbb{P}_p^{(1)}$ и множества псевдопростых чисел
$\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}$:
$$
P(M_{p,2})=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\left(\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}\right),
$$
где множество простых чисел
$\mathbb{P}$ разбивается на два бесконечных подмножества
$\mathbb{P}_p^{(\nu)}$ $(\nu=1,2)$ и одноэлементное множество
$\{p\}$:
$$
\mathbb{P}=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\mathbb{P}_p^{(2)}\bigcup\{p\}, \quad \mathbb{P}_p^{(\nu)}=\left\{q\in\mathbb{P}\left|\left(\frac{q}{p}\right)=3-2\nu\right.\right\} \quad (\nu=1,2).
$$
Моноид
$M_{p,2}$ разлагается в произведение двух взаимно простых моноидов
$M_{p,2}=M_{p,2}^{(1)}\cdot$ $\cdot M_{p,2}^{(2)}$, где
$$
M_{p,2}^{(\nu)}=\left\{a\in M_{p,2}\left| a=\prod_{j=1}^{n}q_j^{\alpha_j}, \, q_j\in\mathbb{P}_p^{(\nu)} \right.\right\}, \quad \nu=1,2.
$$
В статье изучаются свойства функции распределения простых элементов
$\pi_{M_{p,2}^{(\nu)}}(x)$ для
$\nu=1,2$. Отметим, что $\pi_{M_{p,2}}(x)=\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)+\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)$. Показано, что
$$
\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{li} x+O\left(\frac{x^{\beta_1}}{2}+\frac{p-1}2xe^{-c_9\sqrt{\ln x}}\right)
$$
и
$$
\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)=\frac{x\ln\ln x}{2\ln x}+O\left(\frac{x}{(1-\beta_1)\ln{x}}\right),
$$
где
$\beta_1$ — исключительный ноль исключительного характера
$\chi_1$ по модулю
$p$.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова:
дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.
УДК:
511.3
Поступила в редакцию: 30.06.2018
Принята в печать: 15.10.2018
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-19-3-95-108