Оценка взвешенных сумм Клоостермана с помощью аддитивного сдвига
М. А. Королёв Математический институт им. В. А. Стеклова РАН,
119991, Москва, ул. Губкина, 8
Аннотация:
Аддитивный сдвиг — один из часто используемых приёмов оценки тригонометрических сумм и сумм значений характеров. Он состоит в замене переменной суммирования
$n$ выражением вида
$n+x$ с последующим суммированием по искусственно введённой переменной
$x$. Превращение исходной однократной суммы в кратную открывает дополнительные возможности, позволяющие получить её нетривиальную оценку. Этот приём широко использовался в работах Й. Г. ван дер Корпута, И. М. Виноградова, Д. А. Бёрджесса,
А. А. Карацубы и многих других исследователей. Он оказался весьма полезным рабочим инструментом и при работе с суммами значений характеров в конечных полях, а также с кратными тригонометрическими суммами.
Э. Фуври и П. Мишель (1998), Ж. Бургейн (2005) стали успешно применять этот приём к оценкам сумм Клоостермана по простому модулю.
Э. Фуври и П. Мишель сочетали аддитивный сдвиг с глубокими результатами, которые получаются средствами алгебраической геометрии.
Метод Ж. Бургейна полностью элементарен. Так, его использование позволило автору дать полностью элементарный вывод оценки суммы Клоостермана с простыми числами по простому модулю
$q$ в случае, когда длина
$N$ такой суммы превосходит
$q^{\,1/2+\varepsilon}$.
В настоящей статье даются новые примеры применения аддитивного сдвига к взвешенным суммам Клоостермана вида
$$
\sum\limits_{n\le N}f(n)\exp{\biggl(\frac{2\pi ia}{q}\,(n+b)^{*}\biggr)},\quad (ab,q)=1,\quad mm^{*}\equiv 1\;(\mathrm{mod}\ q),
$$
где
$q$ — простое число, а весовая функция
$f(n)$ берётся равной числу
$\tau(n)$ делителей
$n$ или же количеству
$r(n)$ представлений
$n$ суммою двух квадратов целых чисел. Полученные оценки нетривиальны уже при
$N\ge q^{\,2/3+\varepsilon}$.
Следствием таких оценок являются новые результаты о распределении дробных долей вида
$$
\biggl\{\frac{a}{q}\,(uv+b)^{*}\biggr\},\quad \biggl\{\frac{a}{q}\,(u^{2}+v^{2}+b)^{*}\biggr\},
$$
в случае, когда целочисленные переменные
$u$,
$v$ меняются в гиперболической (
$uv\le N$) и круговой (
$u^{2}+v^{2}\le N$)
областях, соответственно.
Ключевые слова:
обратные вычеты, суммы Клоостермана, аддитивный сдвиг, функция делителей.
УДК:
511.321
Поступила в редакцию: 08.06.2018
Принята в печать: 15.10.2018
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-19-3-183-201