Оценка константы наилучших совместных диофантовых приближений для $n=5$ и $n=6$

Данная работа посвящена вопросам оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. Эта проблема является частным случаем более общей проблемы приближения $ n $ действительных линейных форм и имеет свою богатую историю, восходящую к П. Г. Дирихле. Значительный вклад на раннем этапе исследований внесли А. Гурвиц с помощью аппарата цепных дробей и Ф. Фуртвенглером, используя аппарат линейной алгебры.
В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значения константы наилучших совместных диофантовых приближений и критического определителя звездного тела специального вида. Позднее, Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения $V_{n,s}$ – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки снизу константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $ (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).
В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки для $ n = 5 $ и $ n = 6 $. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок $ V_{n,s} $. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием построенных оценок является возможность обобщения их на любую размерность.
В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений $ V_{n,s} $. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений $ V_{n,s} $ для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.