Весовые неравенства для потенциала Данкля–Рисса

Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла $I_{\alpha}$ хорошо известны условия Харди–Литлвуда–Соболева–Стейна–Вейса $(L^p, L^q)$-ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье $\mathcal{F}$ потенциал Рисса определяется равенством $\mathcal{F}(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}(f)(y)$. Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля $\mathcal{F}_k$, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней $R\subset\mathbb{R}^d$, ее группы отражений $G$ и неотрицательной функции кратности $k$ на $R$, инвариантной относительно $G$. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства $\mathcal{F}_k(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}_k(f)(y)$ определили $D$-потенциал Рисса. Для $D$-потенциала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces"  в Centre de Recerca Matemàtica (CRM, Barcelona, 2017) М. Л. Гольдман поставил вопрос об условиях $(L_p,L_q)$-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность $D$-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности, в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.