Эта публикация цитируется в
7 статьях
Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе
Н. Н. Добровольскийab,
Н. М. Добровольскийb,
И. Ю. Реброваb,
А. В. Родионовb a Тульский государственный университет, г. Тула
b Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула
Аннотация:
В работе для каждого моноида
$M$ натуральных чисел определён новый класс периодических функций
$M_s^\alpha$, который является подклассом известного класса Коробова периодических функций
$E_s^\alpha$. Относительно нормы
$\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$ класс
$M_s^\alpha$ является несепарабельным банаховым подпространством класса
$E_s^\alpha$.
Установлено, что класс
$M_s^\alpha$ замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и
$s$-ю степень дзета-функции моноида
$M$. Получены оценки на параметр
$\lambda$, при которых интегральный оператор
$A_{\lambda,f}$ является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.
В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором $Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$ в пространстве
$M^\alpha_{s}$, который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида
$M_{q,1}$ чисел сравнимых с 1 по модулю
$q$ квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю
$q$ точна на классе
$M_{q,1,s}^\alpha$. Более того, это утверждение остается верным и для класса
$M_{q,a,s}^\alpha$ с
$1<a<q$, когда
$q$ — простое число. Так как функции из класса
$M_{q,a,s}^\alpha$ с
$1<a<q$ не имеют нулевого коэффициента Фурье
$C(\vec{0})$, то при простом
$q$ сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.
Ключевые слова:
классы функций, квадратурные формулы, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел.
УДК:
511.3
Поступила в редакцию: 04.12.2018
Принята в печать: 10.04.2019
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-20-1-164-179