Избранные вопросы теории сумматорных функций рядов Дирихле

Вопросы, связанные с исследованием рядов Дирихле
$$ f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nn^{-s} $$
и их сумматорных функций
$$\Phi(x)=\sum_{n\leq x}a_n$$
формируют один из центральных разделов классической теории чисел.
При определенных условиях на ряд
$$f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nn^{-s}$$
функция $\Phi(x)$ может быть выражена через функцию $f(s)$, которую в этом случае называют производящей функцией для коэффициентов ряда Дирихле. Эта связь выражается известной формулой Перрона
$$\sum_{n\leq x} a_n = \frac{1}{2\pi i }\int_{c_0-i\infty}^{c_0+i\infty} f(s)\frac{x^s}{s}ds, \,\, c_0>\sigma_0, $$
где ряд
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$
для $f(s)$ абсолютно сходится при $\sigma>\sigma_0$. Точнее, классическая схема исследования сумматорной функции
$$\Phi(x)=\sum_{n\leq x}a_n$$
коэффициентов ряда Дирихле
$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nn^{-s}$$
опирается на формулу, при определенных условиях выражающую функцию $\Phi(x)$ через интеграл
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)x^s}{s}ds.$$

В 1972 г. А. А. Карацуба получил "интегральную" формулу такого рода, которая связывает
$$\int_{1}^x\Phi(y)dy$$
с интегралом
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)x^{s+1}}{s(s+1)}ds,$$
что позволяет получить новые результаты при исследовании соответствующих теоретико-числовых вопросов.
В данной статье представлена новая формула, выражающая сумматорную функцию
$$\Phi(x)=\sum_{n\leq x}a_n$$
ряда Дирихле
$$f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nn^{-s}$$
через $f(s),$ родственная формуле Перрона и интегральной формуле А. А. Карацубы. Именно, доказано следующее утверждение.

• Пусть ряд
  $$f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nn^{-s}$$
  абсолютно сходится при $\mathrm{Re}\, s >1$, $a_n=O(n^{\varepsilon})$, где $\varepsilon>0$ – произвольно малое действительное число, и при $\sigma\rightarrow 1+$ имеет место оценка
  $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\sigma}=O((\sigma-1)^{-\alpha}), \,\, \alpha>0.$$
  Тогда при любых $b \geq b_0>1$, $T\geq 1$, $x=N+0,5$, $H>b$ имеет место формула
  $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x}a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT} f(s)\frac{x^sH}{s(H-s)}ds +$$
  
  $$ +O\left(\frac{x^bH}{T^2(b-1)^{\alpha}}\right) +O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}H\log x}{T^2}\right)+O\left(x^{\varepsilon}e^{H\log\frac{x}{x+0,5}}\left(1+\frac{x}{H}\right)\right).$$
  

Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция Римана, при $\mathrm{Re}\, s>1$ определяемая равенством
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}.$$

Возведение дзета-функции Римана в $k$-ю степень при $\mathrm{Re}\, s >1$ даст нам ряд Дирихле
$$\zeta^k(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \tau_k(n)n^{-s},$$
где $\tau_k(n)$ – число натуральных решений уравнения $x_1\cdot \ldots\cdot x_k=n$. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда
$$D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n)$$
есть число точек с натуральными координатами под гиперболической поверхностью $x_1\cdot \ldots\cdot x_k=x$. Задачу об асимптотической оценке суммы $D_k(x)$ принято называть проблемой делителей Дирихле.
В данной статье мы доказываем две теоремы, дающие новые асимптотические формулы для функций
$$\sum_{n \leq x} \tau_{k_{1}}(n) \cdot\ldots \cdot \tau_{k_{l}}(n)$$
и
$$ \sum_{n\leq x}\tau_{k}(n^{2}),$$
родственных функции $D_k(x)$.

• 
  $$\sum_{n \leq x} \tau_{k_{1}}(n) \cdot\ldots \cdot \tau_{k_{l}}(n)=x P_{m}(\log x) + \theta x^{1 - \frac{1}{13}m^{-2/3}}(C\log x)^{m},$$
  где $l \geq 1$, $k_{1}, \dots , k_{l} \geq 2$, $m=k_{1}\cdot \ldots \cdot k_{l}$, $P_{m}$ – многочлен степени $m-1$, $\theta$ – комплексное число, $|\theta|\leq 1$, $m\ll \log^{\frac{5}{6}}x$, $C>0$ – абсолютная постоянная.
  
• 
  $$\sum_{n\leq x}\tau_{k}(n^{2})=xP_{m}(\log x) + \theta x^{1 - \frac{1}{13}m^{-2/3}}(C\log x)^{m},$$
  где $k \geq 2$, $m=\frac{k(k+1)}{2}$, $P_{m}$ –многочлен степени $m-1$, $\theta$ – комплексное число, $|\theta|\leq 1$, $m\ll \log^{\frac{5}{6}}x$, $C>0$ – абсолютная постоянная.

Другим хорошо известным примером рядов Дирихле являются $L$-функции Дирихле, при $\mathrm{Re}\, s>1$ определяемые равенством
$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \chi(n)n^{-s},$$
где $\chi$ – характер Дирихле по некоторому модулю $D$. Произведение нескольких $L$-функций Дирихле дает при $\mathrm{Re}\, s>1$ ряд
$$L_1(s,\chi_1)\cdot \ldots\cdot L_k(s,\chi_k)=\sum_{n=1}^{\infty}c_nn^{-s},$$
сумматорная функция коэффициентов которого имеет вид
$$C_k(x)=\sum_{n\leq x}c_n=\sum_{n_1\cdot \ldots\cdot n_k\leq x}\chi_1(n_1)\cdot \ldots \cdot \chi_k(n_k).$$
Задача об асимптотической оценке функции $C_k(x)$ является обобщением проблемы делителей Дирихле и связана с проблемой делителей в числовых полях, в частности, квадратичном и круговом.
В данной статье получены новые асимптотические формулы для средних значений арифметических функций $\tau^{K}_{k_{1}}(n) \cdot \ldots \cdot \tau^{K}_{k_{l}}(n)$ и $\tau^K_k(n^2)$, родственных функции делителей $\tau_k(n)$, в квадратичном поле $K=Q(\sqrt{D})$, $D$ – бесквадратное число, и $t$-круговом поле $K=Q(\varsigma)$, $\varsigma^{t}=1$, с константой $c=\frac{1}{13}$ в показателе остаточного члена.