Условия Макенхаута для кусочно-степенных весов в евклидовом пространстве с мерой Данкля

В результате многолетних исследований в гармоническом анализе Фурье был выделен класс линейных интегральных операторов Кальдерона–Зигмунда, ограниченных в пространствах $L^p$ на $\mathbb{R}^d$ с мерой Лебега при $1<p<\infty$. Б. Макенхаутом были найдены условия на вес, необходимые и достаточные для ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда в пространствах $L^p$ с одним весом. Они теперь известны как $A_p$-условия Макенхаута. Г.Х. Харди и Дж.И. Литлвудом $(d=1)$ и С.Л. Соболевым $(d>1)$ была доказана $(L^p,L^q)$-ограниченность потенциала Рисса $I_{\alpha}$ при $1<p<q<\infty$, $\alpha=d\Bigl(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\Bigr)$. Б. Макенхаут и Р.Л. Виден нашли $A_{p,q}$-условие на вес для одновесовой $(L^p,L^q)$-ограниченности потенциала Рисса. Важным обобщением потенциала Рисса стал потенциал Данкля–Рисса, определенный С. Тангавелу и Ю. Шу в евклидовом пространстве с мерой Данкля. Для потенциала Данкля–Рисса нами была доказана $(L^p,L^q)$-ограниченность с двумя радиальными кусочно-степенными весами. В настоящей работе мы определяем $A_p$ и $A_{p,q}$-условия Макенхаута для весов в $\mathbb{R}^d$ с мерой Данкля и выясняем, когда они выполняются для кусочно-степенных весов. Полученные результаты показывают, что условия $(L^p,L^q)$-ограниченности потенциала Данкля–Рисса с одним кусочно-степенным весом могут быть охарактеризованы с помощью $A_{p,q}$-условия. Это позволяет предположить, что условия $(L^p,L^q)$-ограниченности потенциала Данкля–Рисса с одним произвольным весом могут также быть записаны с помощью $A_{p,q}$-условия.