Эта публикация цитируется в
1 статье
Об одном обобщенном эйлеровом произведении, задающем мероморфную функцию на всей комплексной плоскости
Н. Н. Добровольскийa,
М. Н. Добровольскийb,
Н. М. Добровольскийc a Тульский государственный университет (г. Тула)
b Геофизический центр РАН (г. Москва)
c Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)
Аннотация:
В работе изучается произведение Эйлера вида
$$
P_\pi(M,a(p)|\alpha)=\prod_{p\in P(M)}\left(1-\frac{a(p)}{p^{\alpha+\pi(p)}}\right)^{-1},
$$
где
$M$ — произвольный моноид натуральных чисел, образованный множеством простых чисел
$P(M)$.
Другим объектом изучения является ряд Дирихле вида
$$
f_\pi(M|\alpha)=\sum_{n\in M}\frac{1}{n^{\alpha +\pi(n)}}.
$$
Оказывается, что они обладают совершенно разными свойствами. Ряд Дирихле
$f_\pi(M|\alpha)$ определяет голоморфную функцию на всей комплексной плоскости.
А эйлерово произведение
$P_\pi(M|\alpha)$ для моноида
$M$, у которого множество простых
$P(M)$ бесконечно, задает на всей комплексной плоскости мероморфную функцию, у которой имеется счетное множество особых вертикальных прямых, на каждой из которых счетное множество полюсов.
В заключении рассмотрена актуальная задача о нулях функции
$f_\pi(M|\alpha)$.
Ключевые слова:
дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.
УДК:
511.3
Поступила в редакцию: 18.05.2019
Принята в печать: 12.07.2019
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-20-2-156-168