Дифференцирование функций кватернионной переменной

В данной работе рассматривается определение дифференцируемости и регулярности по Фютеру [1–2] и примеры регулярных по Фютеру функций, приводится и определение С-регулярности и С-производной или производной Куллена [3], на основе которой строится новая теория регулярных функций в [4], которая уже включает полиномы и сходящиеся ряды гиперкомплексной переменной как дифференцируемые функции. Затем предлагается новое определение дифференцируемости, имеющее классический вид, но со специфической сходимостью, которое позволяет доказать теоремы о дифференцируемости суммы и произведения дифференцируемых функций, о дифференцируемости “частного” дифференцируемых функций. Далее выводится производная степени и доказывается дифференцируемость полиномов и степенных рядов, что позволяет строить обобщения элементарных функций для кватернионных аргументов. Приводится пример, показывающий, что без специфической сходимости приведенное определение дифференцируемости теряет смысл. С помощью степенных рядов задаются функции, которые являются решениями дифференциальных уравнений с постоянными кватернионными коэффициентами. Рассматривается задача отыскания корней квадратного уравнения с кватернионными коэффициентами, которая возникает при решении дифференциальных уравнений.