Эта публикация цитируется в
2 статьях
О неравенствах типа Колмогорова для периодических функций двух переменных в $L_2$
М. Ш. Шабозовa,
М. О. Акобиршоевb a Таджикский национальный
университет (г. Душанбе)
b Технологический университет Таджикистана
(г. Душанбе)
Аннотация:
Пусть $L_{2}:=L_{2}(Q), \, Q:=\{0 \leq x, y \leq 2\pi\}$ –
гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций
$f(x,y)$ в
области
$Q$ с конечной нормой
\begin{equation*}
\|f\|_{2}:=\|f\|_{L_{2}(Q)}:=\left\{\frac{1}{4\pi^{2}}\iint_{(Q)}|f(x,y)|^2dxdy\right\}^{1/2}
< \infty,
\end{equation*}
а
$L_{2}^{(r,s)}(Q)$ – класс функций
$f\in L_{2}$, у которых
производные
$f^{(k,l)}\in C(Q)$, а
$f^{(r,l)}, \, f^{(k,s)}$ $(0\leq
k\leq r-1$, $0\leq l\leq s-1, \, r,s\geq 2, r,s\in\mathbb{N})$,
$f^{(r,s)}$ – кусочно-непрерывны и
$f^{(r,s)}\in L_{2}$. В работе
доказано, что для произвольной
$f\in L_{2}^{(r,s)}$ имеет место
точное неравенство типа Колмогорова следующего вида
\begin{equation*}
\|f^{(r-k,s-l)}\|_{L_2(Q)}\leq\|f\|^{kl/rs}_{L_2(Q)}\cdot\|f^{(r,0)}\|^{(1-\frac{k}{r})\frac{l}{s}}_{L_2(Q)}\cdot
\|f^{(0,s)}\|^{\frac{k}{r}(1-\frac{l}{s})}_{L_2(Q)}\cdot\|f^{(r,s)}\|^{(1-\frac{k}{r})(1-\frac{l}{s})}_{L_2(Q)}.
\end{equation*}
Найдено также точное неравенство типа Колмогорова для наилучших
приближений
$\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f^{(r-k,s-l)})_{2}$ промежуточных
производных
$f^{(r-k,s-l)}$ функций
$f\in L_{2}^{(r,s)}$
тригонометрическими “углами”, имеющее вид
\begin{equation*}
\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f^{(r-k,s-l)})_{2}\leq
\end{equation*}
\begin{equation*}\displaystyle\leq\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f\right)_{2}\right)^{kl/rs}\cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(r,0)}\right)_{L_{2}}\right)^{\left(1-\frac{k}{r}\right)\frac{l}{s}}\cdot\end{equation*}
\begin{equation*}
\cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(0,s)}\right)_{2}\right)^{\frac{k}{r}\left(1-\frac{l}{s}\right)}\cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(r,s)}\right)_{2}\right)^{\left(1-\frac{k}{r}\right)\left(1-\frac{l}{s}\right)},
\end{equation*}
и дано приложение к задаче об одновременном приближении функции и ее
промежуточных производных в
$L_{2}$. Вычислены точные значения
линейных и колмогоровских квазипоперечников некоторых классов
функций.
Ключевые слова:
неравенства типа Колмогорова, тригонометрические “углы”, квазиполином, наилучшее приближение, квазипоперечники.
УДК:
517.5
Поступила в редакцию: 18.04.2019
Принята в печать: 12.07.2019
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-20-2-348-365