Эта публикация цитируется в
4 статьях
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Арифметические свойства рядов некоторых классов
Е. С. Крупицын Московский педагогический государственный университет (г. Москва)
Аннотация:
В статье рассматриваются свойства лиувиллевых чисел в
$p$-адической,
$g$-адической и полиадической областях. Каноническое представление
$p$-адического числа имеет вид
$$
\sum\limits_{n=0}^\infty a_n p^n, \quad a_n\in\{0,1,\ldots, p-1\}.
$$
Каноническое представление
$g$-адического числа имеет вид
$$
\sum\limits_{n=0}^\infty a_n g^n, \quad a_n\in\{0,1,\ldots, g-1\}.
$$
Каноническое представление полиадического числа имеет вид
$$
\sum\limits_{n=0}^\infty a_n n!, \quad a_n\in\{0,1,\ldots, n\}.
$$
Основная цель работы — получение оценок снизу норм в соответствующих областях от значений ненулевых многочленов с целыми коэффициентами, вычисленных при подстановке вместо переменных рассматриваемых совокупностей, соответственно,
$p$-адических,
$g$-адических и полиадических лиувиллевых чисел.
Тем самым, в случае полиадических чисел, доказывается их глобальная трансцендентность и глобальная алгебраическая независимость.
Отметим, что в случае, когда оценивается обычная абсолютная величина значения многочлена от совокупности действительных лиувиллевых чисел, основная трудность состоит в доказательстве отличия от нуля значения этого многочлена в приближающей точке.
В настоящей работе, в случае
$p$-адических,
$g$-адических и полиадических чисел эту трудность удается обойти, используя известную алгебраическую лемму о величине корней многочлена.
Кроме того, в работе известная теорема П. Эрдёша о представлении действительного числа суммой двух лиувиллевых чисел переносится на случаи
$p$-адических,
$g$-адических и полиадических чисел.
Ключевые слова:
оценка многочлена, $p$-адическое число, $g$-адическое число, полиадическое число, трансцендентность.
УДК:
517 Поступила в редакцию: 18.05.2019
Принята в печать: 12.07.2019
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-20-2-374-382