Эта публикация цитируется в
4 статьях
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Свойства элементов прямых произведений полей
В. Ю. Матвеев Московский педагогический государственный университет (г. Москва)
Аннотация:
В статье рассказано об арифметических свойствах значений некоторых
$F$-рядов.
$F$-ряд — это ряд вида
\begin{equation}
\nonumber
\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot n! \; z^n,
\end{equation}
коэффициенты
$a_n$ которого принадлежат некоторому алгебраическому полю
$\mathbb K$ конечной степени над полем
$\mathbb Q$.
При этом наибольшая из абсолютных величин сопряженных с
$a_n$ чисел не превосходит величину
$e^{C_1 n}$,
$n=0,1,\ldots$. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел
$d_n = d_{0,n} q^n$,
$q\in\mathbb N$, такая, что
$d_n a_k\in\mathbb Z_{\mathbb K}$,
$n=0,1,\ldots$,
$k=0,1,\ldots,n$.
При этом
$d_{0,n}$ делится только на простые числа
$p$,
$p\leqslant C_2 n$ и
\begin{equation}
\nonumber
ord_p d_{0,n} \leqslant C_3\left(\log_p^n + \frac{n}{p^2}\right).
\end{equation}
Устанавливается некоторая общая теорема, подобная теореме В.Х. Салихова для
$E$-функций. Эта теорема дает условие алгебраической независимости над
$\mathbb C(z)$ для
$F$-рядов, каждый из которых
является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка. Приведем примеры применения этой общей теоремы к некоторым гипергеометрическим рядам.
Полученные результаты позволяют применять общие теоремы В.Г. Чирского об арифметических свойствах значений
$F$-рядов.
В результате получено, что значения рассматриваемых рядов как в алгебраических точках, так и в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами, бесконечно алгебраически независимы.
В работе также упомянуты некоторые приложения полиадических и почти полиадических чисел к ряду задач.
Ключевые слова:
$F$-ряды, бесконечная алгебраическая независимость, полиадические числа.
УДК:
511.36 Поступила в редакцию: 18.05.2019
Принята в печать: 12.07.2019
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-20-2-383-390