On the $\mathfrak{F}$-hypercentral subgroups with the sylow tower property of finite groups

Рассматриваются только конечные группы. Пусть $A$ — группа автоморфмизмов группы $G$, содержащая все внутренние автоморфизмы, и $F$ — максимальный внутренний локальных экран насыщенной формации $\mathfrak{F}$. $A$-композиционный фактор $H/K$ группы $G$ называется $A$-$\mathfrak{F}$-центральным, если $A/C_A(H/K)\in F(p)$ для всех $p\in\pi(H/K)$. $A$-$\mathfrak{F}$-гиперцентром $G$ называется наибольшая А-допустимая подгруппа $G$, все $A$-композиционные факторы ниже которой $A$-$\mathfrak{F}$-центральны. Обозначается $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G, A)$.
Напомним, что группа $G$ называется дисперсивной по Оре, если $G$ имеет нормальную холлову $\{p_1,\dots, p_i\}$-подгруппу для $1\leq i\leq n$, где $p_1>\dots>p_n$ — все простые делители $|G|$. Главным результатом работы является: Пусть $\mathfrak{F}$ — наследственная насыщенная формация, $F$ — её максимальный внутренний локальный экран и $N$ — дисперсивная по Оре $A$-допустимая подгруппа группы $G$, где $\mathrm{Inn}\,G\leq A\leq \mathrm{Aut}\,G$. Тогда и только тогда $N\leq\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G, A)$, когда $N_A(P)/C_A(P)\in F(p)$ для любых силовской $p$-подгруппы $P$ группы $N$ и простого делителя $p$ порядка $N$.
В качестве следствий были получены известные результаты Р. Бэра о нормальных подгруппах в сверхразрешимом гиперцентре и элементах гиперцентра.
Пусть $G$ — группа. Напомним, что
$$L_n(G)=\{ x\in G\,\,| \,\,[x, \alpha_1,\dots, \alpha_n]=1 \,\,\forall \alpha_1,\dots, \alpha_n\in\mathrm{Aut}\,G\}$$
и $G$ называется автонильпотентной, если $G=L_n(G)$ для некоторого натурального $n$. Из главного результата можно извлечь критерии автонильпотентности групп. В частности, группа $G$ автонильпотентна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением своих силовских подгрупп и группа автоморфизмов любой силовской $p$-подгруппы группы $G$ является $p$-группой для любого простого делителя $p$ порядка $G$. Приведены примеры автонильпотентных групп нечетного порядка.