О разделимости и коэрцитивной разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в весовом пространстве

Работа посвящена установлению коэрцитивных оценок и доказательств теорем разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка. На основе полученных коэрцитивных оценок исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве $L_{2,\rho}(R^n)$. Проблемой разделимости дифференциальных операторов впервые занимались математики В.Н.Эверитт и М.Гирц. Они подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Существуют лишь отдельные работы, в которых рассматриваются нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабые нелинейные возмущения линейных операторов. Случай, когда исследуемый оператор строго нелинейный, т.е. его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные здесь результаты также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного дифференциального оператора второго порядка
$$ L[u]=-\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^n b_{j}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}+V(x,u)u(x), $$
в весовом гильбертовом пространстве $L_{2,\rho}(R^n)$ и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Рассматриваемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости исследуется разрешимость нелинейного дифференциального уравнения в пространстве $L_{2,\rho}(R^n)$.