Об оценках линейных форм от логарифмов некоторых рациональных чисел

В настоящее время одним из широко применяемых подходов при нахождении оценок показателя иррациональности является использование симметризованных интегралов. Они рассматривались и ранее (см., например, [1]), но наиболее динамичное развитие это направление приобрело в работах В. Х. Салихова и его учеников (см., например, [2]–[5]).
Отправной точкой стала статья В. Х. Салихова [6], в которой была усилена оценка меры иррациональности числа $\ln{3}$: $\mu(\ln{3})\leq5.125$. В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг в [7] улучшили результат В. Х. Салихова, получив оценку $\mu(\ln{3})\leq5.1163051$. В их работе применялись симметризованные многочлены первой степени. С помощью интегральной конструкции, основанной на симетризованных многочленах первой и второй степени, И. В. Бондарева, М. Ю. Лучин и В. Х. Салихов в [8], уточнили предыдущий результат К. Ву и Л. Ванга: $\mu(\ln{3})\leq5.116201$.
Впервые квадратичные симметризованные многочлены были использованы в работе И. В. Бондаревой, М. Ю. Лучина и В. Х. Салихова [9]. Используя подобные многочлены, но рассматривая комплексный интеграл (модифицированный интеграл Е.Б.Томашевской) В. Х. Салихов и Е. С. Золотухина в [10] незначительно усилили оценку меры иррациональности числа $\ln{\frac{5}{3}}$: $\mu(\ln{\frac{5}{3}})\leq5.119417\ldots$. Предыдущие результаты принадлежали Е. Б. Томашевской [11], Е. С. Золотухиной [12], К. Ваананену, А. Хеймонену и Т. Матала-ахо [13].
Цель данной работы – получить новые оценки совместных приближений чисел $1$, $\ln{2}$, $\ln{3}$, $\ln{5}$ и чисел $1,\ \ln{2},\ \ln{3},\ \ln{5},\ \ln{7}$, основываясь на интегральной конструкции, содержащей многочлены первой и второй степени.