Эта публикация цитируется в
1 статье
Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II
[Суммы Клоостермана по простым числам и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами — II]
M. A. Korolev Steklov Mathematical Institute of RAS (Moscow)
Аннотация:
В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю
$q$. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов
$\overline{p}$, обратных простым числам “короткого” промежутка:
$p\overline{p}\equiv 1\pmod{q}$,
$1<p\leqslant N$,
$N\leqslant q^{1-\delta}$,
$\delta>0$, и, более общо, о распределении по модулю
$q$ величин
$g(p) = a\overline{p}+bp$, где
$a,b$ – целые числа,
$(ab,q)=1$.
Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произвольного заданного вычета
$m\pmod{q}$ суммою
$g(p_{1})+\ldots+g(p_{k})$ при фиксированных
$a,b$ и
$k\geqslant 3$, и простых
$1<p_{1},\ldots,p_{k}\leqslant N$. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом “сингулярного ряда” классического кругового метода, т.е. некоторой величиной
$\kappa$, зависящей от
$q$ и набора
$k,a,b,m$. При фиксированных
$k,a,b,m$ она является мультипликативной функцией
$q$. В случае, когда модуль
$q$ не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптотической.
В настоящей работе исследуется поведение
$\kappa$ в случае, когда
$q = 3^{n}$. Оказывается, что при любых
$n\geqslant 1$,
$k\geqslant 3$ существуют “исключительные” тройки
$a,b,m$, для которых
$\kappa = 0$. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины
$\kappa$ для “неисключительных” троек.
Ключевые слова:
сравнения, разрешимость, обратные вычеты, суммы Клоостермана, простые числа, сингулярный ряд.
УДК:
511.321
Язык публикации: английский
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-21-1-221-232