О размере множества произведения множеств рациональных чисел

Впервые в статье [1] были установлены нетривиальные нижние оценки на размер множества произведений рациональных чисел, числители и знаменатели которых ограничены некоторой величиной $Q$. Грубо говоря, было показано, что размер произведения отклоняется от максимального не меньше чем в $\exp\Bigl\{( 9+o(1)) \frac{\log Q}{\sqrt{\log{\log Q}}}\Bigl\}$ раз. В статье [7] показатель у $\log{\log Q}$ был улучшен со значения $1/2$ до значения $1$ и доказательство основного результата о множестве произведений дробей было принципиально другим. Это доказательство, его аргумент был основыван на поиске специального большого подмножества исходного множества рациональных чисел, у множество числителей и знаменателей которых являлись попарно взаимно простыми числами. Главным инструментом было рассмотрение случайных подмножеств. Была получена нижняя оценка математического ожидания величины размера этого случайного подмножества. Там же удалось получить верхнюю оценку на мультипликативную энергию рассматриваемого множетсва. Нижние оценка на число произведений и верхняя оценка на мультипликативную энергию множества являются близкими к оптимальным результатам. В данной статье мы предлагаем следующую схему. Мы в общем и целом следуем схеме доказательства статьи [1], при этом модифицируем некоторые шаги и привнося некоторые дополнительные оптимизации и тоже улучшаем показатель со значения $1/2$ до значения $1-\varepsilon$ для произвольного положительного $\varepsilon > 0 $ .